Математик

Лекц 9 Сэдэв: Шулуун шугам, шулуун ба хавтгайн харилцан байршил, хавтгай ба шулууны бодлогууд Хичээлийн зорилго: 1. Танин мэдэхүй: Энэ хичээлээр шулууны хялбар тэгшитгэл, параметрт тэгшитгэл, ерөнхий тэгшитгэл, хоёр цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэл, огтлолцсон хоёр шулууны хоорондох өнцөг, хоёр шулууны параллель ба перпендикуляр байх нөхцөлүүд, хавтгай ба шулууны бодлогуудыг авч үзнэ. 2. Хүмүүжүүлэх: Суралцагчдын өмнөх мэдлэг чадварт нь тулгуурлан оюун ухааны хүмүүжил олгоно. 3. Хөгжүүлэх: Суралцагчдын ой тогтоолт, ойлгох, харьцуулах, жиших, сэтгэн бодох чадварыг хөгжүүлнэ. Хичээлийн хэрэглэгдэхүүн, холбогдох ном материал: 1. Ж.Баасандорж нар “Инженерийн математик-1” УБ 1999 он 2. Х.Гэндэнжамц, Л.Шагдар, Ү.Санжмятав “Дээд математик-1” УБ 1986 он 3. Ц.Лхамсүрэн, С.Намжилдорж “Дээд математикийн бодлого, дасгал” УБ 1998 Шулуун шугам, шулуун ба хавтгайн харилцан байршил Огторгуйд (хавтгайд) L шулуун өгөдсөн гэж үзье. Энэ шулуун нь түүн дээх байх М0 цэг, энэ шулуунтай параллель байх вектороор бүрэн тодорхойлогдоно. Тодорхойлолт – 1 Өгөгдсөн шулуунтай параллель байх тэгээс ялгаатай векторыг энэ шулууны чиглүүлэгч вектор гэнэ. 1. M0(a,b,c) цэгийг дайрсан чиглүүлэгч вектортой параллель шулууны тэгшитгэл нь (1) хэлбэртэй байна. Үүнийг шулууны хялбар тэгшитгэл гэнэ. 2. (1) тэгшитгэл дэхь тэнцүү ноогдвор бүрийг t – тэй тэнцүүлж x,y,z –ийг олбол (2) болно. Үүнийг шулууны параметрт тэгшитгэл гэнэ. t– параметр гэнэ. 3. , гэсэн өгөгдсөн хоёр цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэлийг дараах томъёогоор бодно. (3) 4. Декартын тэгш өнцөгт координатын системд , параллель биш хоёр хавтгай өгөгдсөн байг. Энэ хоёр хавтгай ямар нэг шулуунаар огтлолцоно. (4) (4) – г огторгуй дахь шулууны ерөнхий тэгшитгэл гэнэ. Шулууны ерөнхий тэгшитгэл (4) өгөгдсөн байвал хялбар тэгшитгэлийг нь олж болно. Шулууны чиглүүлэгч вектор нь , векторуудад перпендикуляр байх учир эдгээрийн вектор үржвэрээр тодорхойлогдоно. (4) системийн аль нэг шийд буюу шулууны цэгийг олбол шулууны хялбар тэгшитгэл (4*) болно. Үүнд чиглүүлэгч вектор , , 5. Огторгуйн хоёр шулуун огтлолцсон, параллель, солбисон байж болно. Хоёр огтлолцсон шулууны хоорондох өнцөг нь (5) томъёогоор илэрхийлэгдэнэ. Үүнд: , нь шулуунуудын чиглүүлэгч векторууд юм. Хоёр шулууны параллель байх нөхцөл нь байна. Хоёр шулууны перпендикуляр байх нөхцөл нь байна. 6. Шулууны хавтгай дээрх проекцтойгоо үүсгэх өнцгийг шулуун хавтгай хоёрын хоорондох өнцөг гэнэ. шулуун хавтгай хоёрын хоорондох өнцөг нь томъёогоор илэрхийлэгдэнэ. Шулуун хавтгай хоёр параллель бол байна. Шулуун хавтгай хоёр перпендикуляр бол байна. Хавтгай ба шулууны бодлогууд 1. , , цэгүүдийг дайрсан хавтгайн тэгшитгэл нь 2. шулуун, түүний гадна орших цэгийг дайрсан хавтгайн тэгшитгэл нь дараах томъёогоор тодорхойлогдоно. , , векторууд компланар учир 3. Параллель хоёр шулууныг дайрсан хавтгайн тэгшитгэл: , , , цэгүүд хавтгай дээр оршино. M(x,y,z) нь хавтгайн дурын цэг бол , , векторууд компланар тул 4. Огтлолцсон , шулуунуудыг дайрсан хавтгайн тэгшитгэл: Дурын цэгийг нь M(x,y,z) гэвэл 5. хавтгай шулууны хоорондох өнцгийг олох томъёо: Шулууны хавтгайд налсан өнцгийг гэвэл хавтгайн нормаль - ийн шулууны чиглүүлэгчтэй үүсгэсэн өнцөг байна. Ийм учраас болно. 6. шулуун хавтгайн огтлолцлын цэгийг олох томъёо: Шулууны тэгшитгэлийг параметр хэлбэртэй бичиж хавтгайн тэгшитгэлд орлуулж бол гэж олоод шулууны параметр тэгшитгэлд орлуулж олно. Жишээ – 1 М0(2;1;3) цэгийг дайрсан вектортой параллель шулууны тэгшитгэл бич. Бодолт: Шулууны хялбар тэгшитгэлийн томъёо ёсоор олох шулууны тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна. Жишээ – 2 шулууны хавтгайтай огтлолцсон цэгийг ол. Бодолт: Эхлээд шулууны параметрт тэгш тэгшитгэлийг бичвэл x=2+4t , y=3+2t, z=-1+5t болно. Үүнийг өгөгдсөн хавтгайн тэгшитгэлд орлуулан тавивал буюу болно. Эндээс t=1 байна. t=1 – ийг шулууны параметрт тэгшитгэлд орлуулан тавивал , , болно. Иймд шулуун ба хавтгайн огтлолцлын цэг нь M(6;5;4) байна. Жишээ – 3 шулуун ба хавтгайн хоорондох өнцгийг ол. Бодолт: Шулуун хавтгай хоёрын хоорондох өнцөг олох томъёо ёсоор байна. Жишээ – 4 M(-1;2;-3) цэгийг дайрсан шулуунд перпендикуляр хавтгайн тэгшитгэлийг зохио. Бодолт: Хавтгай шулуунд перпендикуляр тул түүний чиглүүлэгч векторт мөн перпендикуляр байна. Иймд энэ тохиололд шулууны чиглүүлэгч вектор нь хавтгайн нормаль вектор болох тул хавтгайн тэгшитгэл нь буюу байна. Жишээ – 5 Жишээ – 2 ба шулуунуудын хоорондох өнцгийг ол. Бодолт: Хоёр шулууны хоорондох өнцөг нь тэдгээрийн чиглүүлэгч векторуудын хоорондох өнцөгтэй давхцана. Ерөнхий тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулууны чиглүүлэгч вектор түүнийг тодорхойлогч хавтгайнуудын нормаль векторуудын вектор үржвэртэй тэнцэнэ. Ийм учраас 1-р шулууны чиглүүлэгч вектор нь 2-р шулууны чиглүүлэгч вектор нь Иймд өгөгдсөн хоёр шулууны хоорондох өнцөг нь болно. Жишээ – 6 A(-1;2;3) ба B(2;6;-2) цэгүүдийг дайрсан шулууны тэгшитгэлийг бичиж, түүний чиглүүлэгч косинусуудыг ол. Бодолт: Өгөгдсөн хоёр цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэлийг санавал шулууны тэгшитгэл нь буюу болно. Энэ шулуун нь вектортой параллель тул түүний чиглүүлэгч косинусууд нь векторын чиглүүлэгч косинустай давхцана. Иймд векторын чиглүүлэгч косинусууд нь