Математик

Лекц 8 Сэдэв: Гадарга ба шугамын тэгшитгэл Хичээлийн зорилго: 1. Танин мэдэхїй: Энэ хичээлээр хавтгайн тэгшитгэл, цэгээс хавтгай хїртэлх зай, хавтгайн ерєнхий тэгшитгэл, перпендикуляр ба нормаль вектор, хоёр хавтгайн хоорондох єнцєг, хавтгайн эгэл тэгшитгэл, багц хавтгай гэсэн ойлголт, томъёонуудыг авч їзнэ. 2. Хїмїїжїїлэх: Суралцагчдын ємнєх мэдлэг чадварт нь тулгуурлан оюун ухааны хїмїїжил олгоно. 3. Хєгжїїлэх: Суралцагчдын ой тогтоолт, ойлгох, харьцуулах, жиших, сэтгэн бодох чадварыг хєгжїїлнэ. Хичээлийн хэрэглэгдэхїїн, холбогдох ном материал: 1. Ж.Баасандорж нар “Инженерийн математик-1” УБ 1999 он 2. Х.Гэндэнжамц, Л.Шагдар, Ї.Санжмятав “Дээд математик-1” УБ 1986 он 3. Ц.Лхамсїрэн, С.Намжилдорж “Дээд математикийн бодлого, дасгал” УБ 1998 Гадарга ба шугамын тэгшитгэл Хавтгай дээр хоёр їл мэдэгдэхтэй f(x,y)=0 тэгшитгэл нь ерєнхийдєє ямар нэг шугам тодорхойлогдгийг авч їзсэн. Їїнтэй тєсєєтэй огторгуйд F(x,y,z)=0 Тэгшитгэл ерєнхийдєє ямар нэг гааргуу тодорхойлдог. Тодорхойлолт - 1 Гадаргуу дээр орших цэг бїрийн координат хангадаг, гадаргуугийг гадна орших аль ч цэгийн координат хангадаггїй тэгшитгэлийг гадаргын тэгшитгэл гэнэ. Иймээс гадаргуугийн тэгшитгэл єгєгдсєн бол огторгуйн ямар нэг цэгийг, тэр гадаргуу дээр орших эсэхийг тогтоож болно . Алгебрын гадаргуунууд Огторгуйн аналитик геометрийн судлах гол зїйл нь декартын тэгш єнцєгт координатын системд алгебрын тэгшитгэлээр тодорхойлогдох гадаргуунууд юм. Тэдгээрийн тэгшитгэл нь: (1) (2) Тодорхойлолт – 2 (1) тэгшитгэлийг нэгдїгээр зэргийн ерєнхий тэгшитгэл, (2) тэгшитгэлийг хоёрдугаар зэргийн ерєнхий тэгшитгэл гэж тус нэрлэнэ. Хавтгайн тэгшитгэл, Цэгээс хавтгай хїртэлх зай 1. цэгийн дайрсан векторт перпендикуляр хавтгайн тэгшитгэлийг томъёогоор бичнэ. 2. 1-р зэргийн гурван їл мэдэгдэхтэй тэгшитгэлийг хавтгайн ерєнхий тэгшитгэл гэнэ. Їїнд вектор нь хавтгайд перпендикуляр ба тїїнийг нормаль вектор гэнэ. 3. Хавтгайн ерєнхий тэгшитгэлийн тухайн тохиолдлуудыг авч їзье. а. D=0 байвал тэгшитгэл нь координатын эхийг дайрсан хавтгайг б. C=0 бол тэгшитгэл нь Oz тэнхлэгтэй в. A=0 бол тэгшитгэл нь Ох тэнхлэгтэй г. B=0 бол тэгшитгэл нь Оу тэнхлэгтэй параллель хавтгайг тус тус тодорхойлно. е. C=0, D=0 бол тэгшитгэл нь Oz тэнхлэгийг ё. B=0, D=0 бол тэгшитгэл нь Oz тэнхлэгийг дайрсан хавтгайг тус тус тодорхойлно. 4. Координатуудын хавтгайтай параллель хавтгайнууд а. нь Oyz - тай б. нь Oxz - тай в. нь Оху хавтгайтай параллель хавтгайг тодорхойлно. 5. Координатуудын хавтгайнууд нь харгалзан x=0, y=0, z=0 тэгшитгэлтэй байна. 6. Координатуудын тэнхлэгїїдийг харгалзан a,b,c хэрчмээр огтолсон хавтгайн тэгшитгэл нь: байна. Їїнийг хавтгайн хэрчмээр илэрхийлэгдэх тэгшитгэл гэнэ. 7. Координатын эхээс хавтгайд буулгасан перпендикулярын уртыг р –ээр тэмдэглэе. Хавтгайн нормаль нэгж векторыг гэж тэмдэглэе. Тэгвэл болно. Їїнд: нь -ын координатын тэнхлэгїїдтэй їїсгэсэн єнцгїїд. Энэ їед хавтгайн тэгшитгэлийг хэлбэртэй бичиж болох ба тїїнийг хавтгайн эгэл тэгшитгэл гэнэ. Хавтгайн ерєнхий тэгшитгэлийг эгэл дїрсэд шилжїїлэхийн тулд тэгшитгэлийн хоёр талыг нормаль векторын модулийг D –ийн эсрэг тэмдэгтэй авч хуваана. Єєрєєр хэлбэл хавтгайн эгэл тэгшитгэл нь болно. Їїнд язгуурын ємнєх тэмдгийг D-ийн эсрэгээр сонгон авна. 8. цэгээс хавтгай хїртэлх хазайлт нь: томъёогоор тодорхойлогдох ба энэ хазайлт хэрэв М1 цэг координатын эхтэй хамт хавтгайн нэг талд оршвол сєрєг, хоёр талд нь оршвол эерэг тэидэгтэй тоо байна. Хазайлтын модуль нь цэгээс хавтгай хїрэх зай болох ба энэ нь 9. Хоёр хавтгай огтолцсон, параллель, давхацсан байж болно. а. b. гэсэн тэгшитгэлтэй огтолцсон хоёр хавтгайн хоорондох єнцєг нь томъёогоор тодорхойлогдоно. Зєвхєн нєхцєлд хоёр хавтгай перпендикуляр байх тул нь хавтгайнууд перпендикуляр байх нєхцєл болно. Нормаль векторууд нь коллинеар байх тохиололд л хавтгайнууд параллель байх тул нь хавтгайнууд параллель байх нєхцєл юм. хавтгайнууд давхцсан байх нєхцєл нь байна. 10. Нэг шулууныг дайрсан хавтгайнуудыг багц хавтгай гэнэ. Огтолцлын шулууныг нь багцын тэнхлэг гэнэ. Багц нь хоёр хавтгайгаараа бїрэн тодорхойлогдоно. Багц хавтгайн дурын хавтгайг єгєгдсєн , хавтгайнуудын тэгшитгэлийн тусламжтайгаар гэж илэрхийлнэ. Энд дурын бодит тоо Жишээ – 1 A(2;3;-1) цэгийг дайрч, B(1;0;-1), C(-3;1;-2) цэгїїдийг дайрсан шулуунд перпендикуляр байх хавтгайн тэгшитгэлийг бич. Бодолт: вектор хавтгайн нормаль вектор болж чадах учир тїїний координатыг олж (1) томъёонд тавихад болох тул хавтгайн тэгшитгэл гэж гарна. Жишээ – 2 цэгийг дайрч , хавтгайнуудад перпендикуляр байх хавтгайн тэгшитгэл бич. Бодолт: Єгєгдсєн хоёр хавтгайн нормаль векторуудыг -ээр тэмдэглэвэл (1) томъёо ёсоор , болно. Хавтгайн єгєгдсєн хавтгайн нэг цэг М0 мэдэгдэж байгаа болохоор тїїний нормаль вектор - ийг олъё. Хавтгай нь єгєгдсєн хоёр хавтгайд перпендикуляр гэдгээс векторуудтай параллель байх ёстой. Иймээс -ын вектор їржвэр хавтгайд перпендикуляр байх тул тїїнийг нормаль вектор -ээр авч болно. болох учир олох хавтгайн тэгшитгэл буюу байна. Жишээ – 3 цэгийг дайрч Ох тэнхлэгийг a= - 3 , Оz тэнхлэгийг c=2 хэрчмээр огтлох хавтгайн тэгшитгэлийг бич. Бодолт: хавтгайн координатын хоёр тэнхлэгийг огтлох хэрчмийн хэмжээ єгєдсєн тул тїїний тэгшитгэлийг хэрчимт дїрс (2)-оор хайх нь хялбар юм. тэгшитгэлтэй хавтгай М0 цэгийг дайрах ёстой тул байна. Эндээс b=-12 болж олох хавтгайн тэгшитгэл буюу болно. Жишээ – 4 ; хавтгайнуудын хоорондох хурц єнцгийг ол. Бодолт: , Жишээ – 5 , шулуунууд -ийн ямар утгад a) параллель b) перпендикуляр байх вэ? Бодолт: a) b)