Математик

Лекц 10 Сэдэв: 2-р эрэмбийн муруйнууд Хичээлийн зорилго: 1. Танин мэдэхүй: Энэ хичээлээр эллипс, тойрог, гипербол, параболын тэгшитгэлүүдийг авч үзнэ. 2. Хүмүүжүүлэх: Суралцагчдын өмнөх мэдлэг чадварт нь тулгуурлан оюун ухааны хүмүүжил олгоно. 3. Хөгжүүлэх: Суралцагчдын ой тогтоолт, ойлгох, харьцуулах, жиших, сэтгэн бодох чадварыг хөгжүүлнэ. Хичээлийн хэрэглэгдэхүүн, холбогдох ном материал: 1. Ж.Баасандорж нар “Инженерийн математик-1” УБ 1999 он 2. Х.Гэндэнжамц, Л.Шагдар, Ү.Санжмятав “Дээд математик-1” УБ 1986 он 3. Ц.Лхамсүрэн, С.Намжилдорж “Дээд математикийн бодлого, дасгал” УБ 1998 2-р эрэмбийн муруйнууд 1. Эллипс: Фокус гэж нэрлэгдэх бэхлэгдсэн хоёр цэг хүртэлх зайнуудын нийлбэр тготмол байх хавтгайн бүх цэгийн олонлогийг эллипс гэнэ. (1) (1) тэгшитгэлийг эллипсийн хялбар тэгшитгэл буюу каноник тэгшитгэл гэнэ. Үүнд а ба b нь өгөгдсөн эерэг тоонууд бөгөөд тэдгээрийг эллипсийн хагас тэнхлэгүүд гэж нэрлэх ба a>b гэж үзээд фокусуудын хоорондох зайн хагасыг с гэвэл байна. Энэ үед (1) эллипсийн фокусууд нь , болно. (1) тэгшитгэлтэй эллипсийн абсцисс болон ординат тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүд нь A1(-a;0) , A2(a;0) , B1(0; - b) , B2(0;b) бөгөөд энэ 4 цэгийг эллипсийн оройн цэгүүд гэнэ. Жишээ – 1 эллипсийг дүрсэлж фокусуудыг ол. Бодолт: Бодолт: a=4 , b=3 , Тодорхойлолт – 2 Эллипсийн фокусуудын хоорондох зайг их тэнхлэгт харьцуулсан харьцааг түүний эксцентриситет гэнэ. Эксцентриситетийг үсгээр тэмдэглэх ба тодорхойлолтоор , a>c тул ямар ч эллипсийн эксцентриситет <1 байна. Хэрэв M(x;y) цэг эллипс дээр орших дурын цэг мөн r1, r2 нь түүнээс F1, F2 фокусууд хүрэх зайнууд бол эдгээрийг М цэгийн фокусын радиус гэнэ. хоёр шулууныг (1) эллипсийн директрис гэнэ. Эллипсийн директрисийн хувьд дараах теорем хүчинтэй. Теорем – 1 Хэрэв r нь эллипсийн дурын цэгээс аль нэг фокус хүрэх зай, d нь мөн цэгээс энэ фокуст харгалзах директрис хүрэх зай бол байна. Жишээ – 2 тэгшитгэлтэй эллипс өгсөн бол 1. Хагас тэнхлэгүүдийш ол. 2. Фокусуудыг ол 3. Эксцентрисистетийг ол. Бодолт: Өгсөн тэгшитгэлийн 2 талыг 225-д хуваавал 1. a=5 , b=3 2. c=4 , F1(-4;0) , F2(4;0) 3. болно. Жишээ – 3 эллипс дээр орших цэгийн фокусын радиус дээр байх шулууны тэгшитгэлийг бич. Бодолт: Олох шулууны тэгшитгэлийг гэе. М1 цэгийг дайрах тул (i) болно. Эллипсийн фокусуудыг олъё. c=2 , F1(-2;0) , F2(2;0) болох тул хоёр тохиолдол байна. 1. F1 фокусыг олох шулуун дайрах тул 0=-2a+b үүнийг (ii) гэвэл (i) ба (ii) –ээс , гэж гарна. Өөрөөр хэлбэл шулуун байна. 2. F2 фокусыг өгсөн шулуун дайрч болох тул мөн шулуун байна. Жишээ – 4 эллипсийн баруун фокусаас эллипс үрэх зай нь 14 нэгж байх цэгийг ол. Бодолт: a=10 , b=6 буюу их тэнхлэг 10 тул баруун фокусаас 14 нэгж байх цэг координатын зүүн хагас хавтгайд байна. Тэрхүү цэгийг гэе. Эллипсийн фокусыг олбол байна. (a) гэе. Мөн М цэг эллипс дээр орших тул (b) гэе. (a) ба (b) –ээс , болно. Жишээ – 5 шулуун ба эллипсийн огтлолцолын цэгийг ол. Бодолт: Олох цэг шулуун ба эллипсийг дайрах тул дараах системийг бодоход хангалттай. системээс x=3 , гэж гарна. 2. Тойрог: Хэрэв эллипсийн хувьд a=b бол эллипс нь тойрог болно. Тойргийн хялбар тэгшитгэл нь (2) хэлбэртэй байна. Энд цэг дээр эхтэй R радиустай тойрог байна. , үед тэгшитгэл гарах ба энэ нь координатын эх дээр төвтэй тойргийн тэгшитгэл юм. Жишээ – 6 шулуунтай M(3;1) цэгт шүргэлцэх радиус бүхий тойргийн тэгшитгэлийг бич. Бодолт: Тойргийн тэгшитгэл нь хэлбэртэй байх ёстой. М цэг тойргийн цэг тул (*) Мөн тойргийн төвөөс өгсөн шулуун хүрэх зай нь радиустай тэнцүү байх тул эндээс эсвэл байна. Энэ 2-ийг (*) – той систем болгон бодвол а. , b. , гэж олдох ба , юм. 3. Гипербол: Фокус гэж нэрлэгдэх бэхлэгдсэн хоёр цэг хүртэлх зайнуудын ялгавар тогтмол тоо байх хавтгайн бүх цэгийн олонлогийг гипербол гэнэ. (3) (3) тэгшитгэлийг гиперболын хялбар тэгшитгэл буюу каноник тэгшитгэл гэнэ. Үүнд а,b эерэг тогтмол тоонууд бөгөөд а - г бодит хагас тэнхлэг, b – г хуурмаг хагас тэнхлэг гэнэ. (3) гиперболийн фокусуудын хоорондох зайн хагас нь с бол байна. (3) гиперболын фокусууд нь F1(-c;0) , F2(c;0) байна. шулуунууд нь гиперболын асимптотууд нь болно. Жишээ – 7 гиперболийг дүрсэлж фокусуудыг ол. Бодолт: a=3 , b=2 , , Хэрэв a=b бол адил хажуут гипербол гэнэ. Гиперболийн фокусуудын хоорондох зайг бодит тэнхлэгт харьцуулсан харьцааг түүний эксцентриситет гэнэ. Эксцентриситетийг үсгээр тэмдэглэх ба тодорхойлолтоор , a1 байна. Хэрэв M(x;y) цэг гипербол дээр орших дурын цэг мөн r1, r2 нь түүнээс F1, F2 фокусууд хүрэх зайнууд бол үед үед байна. r1, r2 – ийг М цэгийн фокусын радиус гэнэ. хоёр шулууныг (3) гиперболийн директрис гэнэ. Директрисийн хувьд дараах теорем хүчинтэй. Теорем – 2 Хэрэв r нь гиперболын дурын цэгээс аль нэг фокус хүрэх зай d нь мөн цэгээс энэ фокуст харгалзах директрис хүрэх зай бол байна. Жишээ – 8 гипербол өгсөн бол 1. Хагас тэнхлэгүүдийг ол. 2. Фокусуудыг ол. 3. Эксцентриситетийг ол. Бодолт: Өгсөн тэгшитгэлийн 2 талыг 144-т хуваавал 1. a=3 , b=4 2. c=5 , F1(-5;0) , F2(5;0) 3. 4. Парабол: Фокус гэж нэрлэгдэх бэхлэгдсэн цэг болон директрис хэмээх өгсөн шулуунаас ижил зайтай орших цэгүүдийн олонлогийг парабол гэнэ. Фокусаас директрис хүрэх зайг р гээд параболын параметр гэнэ. Хэрэв шулуун параболын директрис, параболын фокус бол параболын тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна. Үүнийг параболын хялбар тэгшитгэл гэнэ. Параболын дурын цэгээс фокус хүрэх зайг директрис хүрэх зайд харьцуулсан харьцааг параболын эксцентриситет гэх ба ямагт байна. Хэрэв М цэг парабол дээр орших дурын цэг, r нь түүнээс фокус хүрэх зай бол байна. Үүнийг М цэгийн фокусын радиус гэнэ. Жишээ – 10 F(-7;0) фокустай директрисын тэгшитгэл нь байх параболын тэгшитгэлийг гарга. Бодолт: Фокусын томъёо ёсоор p=14 Жишээ – 11 Ординат нь 6 байх параболын М цэгийн фокусын радиусыг ол. Бодолт: М цэг парабол дээр байх тул гэдгээс x=3 болно. Фокусын радиусын томъёогоор , r=9 болно.