Математик

Лекц 4 Сэдэв: Шугаман тэгшитгэлийн системийг бодох зайлуулах арга, Матрицын хувийн утгын бодлого Хичээлийн зорилго: 1. Танин мэдэхүй: Энэ хичээлээр шугаман тэгшитгэлийн системийг зайлуулах аргаар бодох бодлогууд болон хувийн утгын бодлогуудыг авч үзнэ. 2. Хүмүүжүүлэх: Суралцагчдын өмнөх мэдлэг чадварт нь тулгуурлан оюун ухааны хүмүүжил олгоно. 3. Хөгжүүлэх: Суралцагчдын ой тогтоолт, ойлгох, харьцуулах, жиших, сэтгэн бодох чадварыг хөгжүүлнэ. Хичээлийн хэрэглэгдэхүүн, холбогдох ном материал: 1. Ж.Баасандорж нар “Инженерийн математик-1” УБ 1999 он 2. Х.Гэндэнжамц, Л.Шагдар, Ү.Санжмятав “Дээд математик-1” УБ 1986 он 3. Ц.Лхамсүрэн, С.Намжилдорж “Дээд математикийн бодлого, дасгал” УБ 1998 Шугаман тэгшитгэлийн системийг бодох зайлуулах арга Матрицын хувийн утгын бодлого (1) Шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын буюу зайлуулах аргаар бодохдоо системийн өргөтгөсөн матрицыг шаталсан эсвэл эмхтгэсэн шаталсан мөр хэлбэрт шилжүүлэх хувиргалтыг хийнэ. Өргөтгөсөн матрицын зөвхөн мөрүүд дээр 1. Матрицын аль нэг мөрийг тэгээс өөр тогтмол тоогоор үржүүлэх 2. Матрицын мөрийн байруудыг солих 3. Матрицын аль нэг мөрийг өөр мөрийг тогтмол тоогоор үржүүлээд уг мөр дээр нэмсэн мөрөөр солих гэсэн хувиргалтуудыг хийж шаталсан ба эмхтгэсэн шаталсан хэлбэрт хувиргана. Ингэж хувиргасан өргөтгөсөн матрицуудад харгалзах шугаман тэгшитгэлийн системүүд эквивалент байна. (нийцтэй эсэх нь адилхан, нийцтэй бол шийд нь адил) Энэ аргаар ямар ч системийг нийцтэй эсэхийг тогтоох болон шийдийг олж болно. Хувиргалтын явцад хэлбэрийн мөр гарч ирвэл систем нийцгүй байна. Тодорхойлолт – 1 Дараах нөхцлүүдийг хангах матрицыг шаталсан мөр хэлбэрт байгаа матриц гэнэ. • Тэг биш мөрийн эхний тэг биш элемент 1 байна. • Дараалсан тэг биш мөрүүдийн доод мөрөн дахь эхний 1 нь дээд мөрийн баруун талд байна. • Бүх элементүүд тэг байх мөрүүд матрицын сүүлийн мөрүүдэд байна. Гауссын аргаар бодоход мөр дээрх хувиргалтуудыг өргөтгөсөн матриц эмхтгэсэн шаталсан мөр хэлбэрт ортол хэрэглэнэ. Тодорхойлолт – 2 Дараах нөхцлүүдийг хангах матрицыг эмхтгэсэн шаталсан мөр хэлбэрт байгаа матриц гэнэ. • Матриц шаталсан мөр хэлбэрт байна. • Мөр бүрт байгаа тэгээс ялгаатай эхний элемент байгаа баганыхаа ганц тэгээс ялгаатай элемент байна. 1. Матрицын i – р мөрийг С ( ) тогтмол тоогоор үржүүлэх хувиргалтыг 2. Матрицын i ба j – р мөрүүдийн байрыг солих үйлдлийг 3. j – р мөрийг С тоогоор үржүүлж i – р мөр дээр нэмэх үйлдлийг гэж тус тус тэмдэглэе. Жишээ – 1 системийг Гауссын аргаар бод. Бодолт: Гауссын аргаар өргөтгөсөн матрицыг шаталсан мөр хэлбэрт шилжүүлье. Сүүлийн матрицад дараах систем харгалзана. Жишээ – 2 системийг бод. Бодолт: Сүүлийн мөр тул систем нийцгүй. Жишээ – 3 системийг бод. Бодолт: Эндээс Энэ системээс гэвэл болж дурын t бодит тооны хувьд систем төгсгөлгүй олон шийдтэй болно. Шугаман тэгшитгэлийн системийн нийцтэйг тогтоох шинжүүр систем авч үзье. А матрицыг үндсэн матриц, В матрицыг өргөтгөсөн матриу гэж нэрлэе. Теорем. Нэгэн төрлийн биш (1) систем шийдтэй байх гарцаагүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь үндсэн матрицын ранг өргөтгөсөн матрицын рангтай тэнцүү байх явдал юм. Матрицын хувийн утгын бодлого Тодорхойлолт – 1 А нь n – р эрэмбийн матриц байг. Хэрэв (1) гэсэн шугаман тэгшитгэлийн систем тэгээс ялгаатай гэсэн шийдтэй байх бодит тоо олдож байвал энэ тоог А матрицын хувийн утга, Х векторыг энэ хувийн утгад харгалзах хувийн вектор гэнэ. (1) тэгшитгэлийг матриц алгебрийн чанар ашиглан дараах хэлбэрт бичье. (2) хэлбэрт бичье. Энд Е нь нэгж матриц. байг. Тэгвэл (2) нь дараах хэлбэрт бичигдэнэ. (2) хэлбэртэй болно. Энэ тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн тэгшитгэлүүдийн систем тул (2) тэгшитгэл нь (4) байхад тэгээс ялгаатай шийдтэй байх ёстой. (4) тэгшитгэл нь -ийн хувьд n зэргийн тэгшитгэл байна. (4) тэгшитгэлийг А матрицын характеристик тэгшитгэл гэнэ. Иймээс А матрицын хувийн утгууд нь(4) характеристик тэгшитгэлийн язгуурууд байна. А матрицын хувийн утга ба хувийн векторыг олохдоо эхлээд (3) гэсэн характеристик тэгшитгэлийн бодит хувийн утгыг олж түүнийгээ (2)-д орлуулан бодож харгалзах хувийн утгуудыг олно. Жишээ – 4 матрицын хувийн утга, хувийн векторыг ол. Бодолт: ; . Энд хоёр хувийн утга давхцаж байна. үед систем нь системд шилжинэ. Эндээс , гэж авбал ганц хувийн вектор олдоно. Жишээ – 5 матрицын хувийн утга, хувийн векторыг ол. Бодолт: Характеристик тэгшитгэл нь болно. Энэ нь хэлбэртэй болох ба , , гэсэн шийдүүдтэй. хувийн утгын хувьд (2) системийг бичвэл болох ба шийд нь ямар ч t бодит тооны хувьд , , байна. Иймд хувийн утгад хувийн векторууд харгалзана. үед (2) системийг бичиж хувийн утгыг олбол , гэвэл үед , буюу хувийн вектор нь