Математик

Лекц 5 Сэдэв: Вектор, тїїн дээр хийх шугаман їйлдлїїд Хичээлийн зорилго: 1. Танин мэдэхїй: Энэ хичээлээр вектор гэж юу болох, вектор дээр хийх шугаман їйлдлїїдийг авч їзнэ. 2. Хїмїїжїїлэх: Суралцагчдын ємнєх мэдлэг чадварт нь тулгуурлан оюун ухааны хїмїїжил олгоно. 3. Хєгжїїлэх: Суралцагчдын ой тогтоолт, ойлгох, харьцуулах, жиших, сэтгэн бодох чадварыг хєгжїїлнэ. Хичээлийн хэрэглэгдэхїїн, холбогдох ном материал: 1. Ж.Баасандорж нар “Инженерийн математик-1” УБ 1999 он 2. Х.Гэндэнжамц, Л.Шагдар, Ї.Санжмятав “Дээд математик-1” УБ 1986 он 3. Ц.Лхамсїрэн, С.Намжилдорж “Дээд математикийн бодлого, дасгал” УБ 1998 Вектор, тїїн дээрх шугаман їйлдлїїд Хїч, хурдатгал, хурд зэрэг хэмжигдэхїїнїїд тоон утга болон чиглэлээрээ тодорхойлогддог. Ийм хэмжигдэхїїнийг вектор хэмжигдэхїїн гэнэ. Вектор хэмжигдэхїїн нь вектороор бїрэн тодорхойлогдоно. Чиглэлт хэрчмийг вектор гэнэ. Иймд вектор тодорхой урттай, нэгийг нь эхлэл нєгєєг нь тєгсгєл болгож авсан хэрчим байна. Хэрэв А эхлэл, В тєгсгєл бол векторыг гэж тэмдэглэдэг. Мєн гэх мэтчилэн тэмдэглэнэ. Векторын уртыг тїїний модуль гээд , гэж тэмдэглэнэ. Урт нь тэгтэй тэнцїї векторыг тэг вектор гээд 0 – ээр тэмдэглэнэ. Тэг вектор тодорхой чиглэлгїй. Хоёр векторын уртууд нь тэнцїї, чиглэл нь ижил байвал тэнцїї векторууд гэнэ. (Зур – 1 ) Тэгээс ялгаатай дурын вектор бїрийн хувьд модуль нь энэ векторын модультай тэнцїї, чиглэл нь эсрэг байх байх векторыг тэр векторын эсрэг вектор гэнэ. векторын эсрэг векторыг - гэж тэмдэглэнэ. Нэг шулуун дээр буюу параллель байх векторуудыг коллинеар векторууд гэнэ. Векторуудыг нэмэх, хасах, тоогоор їржїїлэх їйлдлїїдийг вектор дээрх шугаман їйлдэл гэж нэрлэнэ. Векторуудыг нэмэх, хасах Дурын хоёр векторыг авч їзье. О цэг авч энэ цэг дээр эхтэй , В цэгт эхтэй векторуудыг байгуулж, О – г С – тэй холбоход їїсэх векторыг энэ хоёр векторын нийлбэр вектор гэнэ. (Зур – 2 ) Энэ нийлбэр векторыг єєр аргаар гарган авч болно. Тухайлбал О цэгээс вектор, векторыг байгуулж эдгээр векторуудаар талаа хийсэн параллелограмм байгуулахад диагональ нь эдгээр векторуудын нийлбэр болно. Нийлбэр векторын хувьд байр солих хууль хїчинтэй. векторууд єгєгдсєн байг. Хасагч вектор дээр нэмэхэд хасагдагч вектор гарах векторыг эдгээрийн ялгавар вектор гэнэ. Векторыг тоогоор їржїїлэх - дурын вектор, бодит тоо байг. 1. 2. Хэрэв бол - тай ижил чиглэлтэй, бол - гийн эсрэг чиглэлтэ байх векторыг векторыг тоогоор їржїїлсэн їржвэр гэнэ. Энэ тодорхойлолтоос гэж їзэж болно. векторыг тоогоор їржїїлэх їйлдлийн тодорхойлолтоос їзвэл хоёр векторын коллинеар байх нєхцєл Вектор дээр хийх шугаман їйлдлийн хувьд дараах чанарууд хїчинтэй. 1. 2. 3. 4. 5. , 6. , 7. , 8. Урт нь нэгтэй тэнцїї векторыг нэгж вектор гэнэ. векторын хувьд урт нь нэгтэй тэнцїї - тай ижил чиглэлтэй векторыг - тай нэгж вектор буюу орт гээд гэж тэмдэглэе. Орт векторын хувьд дараах томъёо хїчинтэй. Векторуудын шугаман хамаарал, Суурь вектор Векторуудын харилцан байршлыг тогтоохын тулд тэдгээрийн хоорондын шугаман хамаарал гэсэн ойлголтыг оруулж ирдэг. Тодорхойлолт – 1 (1) тэнцэтгэл байхад биелэгдэж байвал векторуудыг шугаман хамааралгїй векторууд гэнэ. Хэрэв тоонуудын ядаж нэг нь тэгээс ялгаатай байхад (1) биелэгдэж байвал векторуудыг шугаман хамааралтай векторууд гэнэ. (1) тэнцэтгэлийн зїїн талд байгаа илэрхийллийг ьекторуудын шугаман эвлїїлэг гэнэ. Хэрэв єгєгдсєн векторууд шугаман хамааралтай байвал ядаж нэг векторыг нь нєгєє векторуудынх нь шугаман эвлїїлэгт бичиж болно. Теорем – 1 Хавтгай дээрх дурын гурван вектор шугаман хамааралтай байна. Тодорхойлолт – 2 нэг хавтгай дээр орших эсвэл нэг хавтгайтай параллель векторуудыг компланар векторууд гэнэ. Теорем – 2 Огторгуй дахь дурын дєрвєн вектор шугаман хамааралтай байна. Тодорхойлот – 3 Хавтгай дээрх шугаман хамааралгїй дурын векторыг хавтгайн суурь вектор гэнэ. Хэрэв векьторууд хавтгайн суурь векторууд бєгєєд дурын вектор бол теорем – 1 ёсоор эдгээр гурван вектор шугаман хамааралтай тул вектор суурь векторуудаар шугаман илэрхийлэгдэнэ. (2) Хэрэв хавтгайн дурын вектор (2) хэлбэрт бичигдэж байвал суурь векторуудаар задалж бичсэн задаргаа гэнэ. тоог векторын аффин координат гэнэ. гэж тэмдэглэнэ. Тодорхойлолт – 3 Огторгуй дахь шугаман хамааралгїй дурын гурван векторыг огторгуйн суурь вектор гэнэ. Хэрэв огторгуйн суурь векторууд бєгєєд дурын вектор бол теорем - 2 ёсоор (3) болно. тоог векторын аффин координат гэнэ. гэж тэмдэглэнэ. Векторын тэнхлэг дээрх проекц, тїїний чанар , хоёр вектор байг. Эдгээрийг нэг эхтэй болгоё. Нэг векторыг нєгєє вектортой давхцтал нь эргїїлэхэд їїсэх хамгийн бага эргэлтийн єнцгийг энэ хоёр векторын хоорондох єнцєг гэнэ. Уг єнцгийг гэвэл болно. (Зураг – 1) Огторгуйд дурын байрлалтай байх тэнхлэг векторыг авч їзье. А ба В цэгийн тэнхлэг дээрх проекцийг гэе. Тодорхойлолт – 1 хэрчмийн уртыг нэмэх, хасах тэмдэгтэйгээр авсаныг тэнхлэг дээрх - ийн проекц гэнэ. Їїнийг гэж тэмдэглэе. Хэрэв - ийн чиглэл -ийн чиглэлтэй давхцаж байвал проекц эерэг, -ийн чиглэл -ийн эсрэг бол проекц сєрєг байна. Энэ тодорхойлолтоос їзвэл Энд нь тэнхлэг векторын хоорондох єнцєг. Проекцийн хувьд дараах чанарууд хїчинтэй. 1. 2. нь координатын тэнхлэгїїдтэй харгалзан ижил чиглэлтэй, нэгж урттай векторууд байг. Дурын векторыг координатын сууриар задлан бичвэл болно. x,y,z коэффициентїїдийг векторын суурь дахь координат гэх ба эдгээр нь координатын тэнхлэгїїд дээрх проекцууд юм. Тэдгээрийг векторын тэгш єнцєгт координатууд гэнэ. вектор нь координатын тэнхлэгїїд - тэй харгалзан єнцєг їїсгэдэг бол чиглїїлэгч косинусуудыг олох томъёо нь - г - ийн чиглїїлэгч косинусууд гэнэ. Хоёр вектор коллинеар байх нєхцлийг координатуудаараа єгєдсєн векторуудын хувьд авч їзье. ; байг. гэсэн коллинеар байх нєхцлєєс ; ; Эндээс болно. Координатаараа єгєгдсєн векторууд дээрх шугаман їйлдлїїд нь тэдгээрийн координат дээрх їйлдлїїдэд шилжинэ. ба , єгєгдсєн байг. 1. 2. 3. байвал байна. 4. 5. ба цэгїїд координатаараа єгєгдсєн байг. Тэгвэл 6. Хоёр цэгийн хоорондох зайг томъёогоор тодорхойлно. 7. Хэрчмийг єгєгдсєн харьцаанд хуваах цэгийн координатыг олох томъёо нь ; ; 8. Хэрчмийг таллан хуваах цэгийн координатыг олох томъёо нь ; ; Жишээ – 1 ба цэгїїд єгєгджээ. хэрчмийг харьцаагаар хуваах М цэгийн координатыг ол. Бодолт: болно. M(-1;4;1) Жишээ – 2 , , бол Бодолт: томъёог ашиглавал Жишээ – 3 M(5; - 3;4) цэгийн радиус векторын чиглїїлэгч косинусуудыг ол. Бодолт: Координатын эхээс эхлэлтэй вектор їїсгэе. Чиглїїлэгч косинусуудыг олох томъёо ёсоор , , болно. Жишээ – 4 ба векторуудын нийлбэр ба ялгаварын модулийг ол. Бодолт: , тул