нэмэлт

нэмэлт

математик

математик

a

Математик

1. Ж.Баасандорж нар “Инженерийн математик-1” УБ 1999 он 2. Х.Гэндэнжамц, Л.Шагдар, Ү.Санжмятав “Дээд математик-1” УБ 1986 он 3. Ц.Лхамсүрэн, С.Намжилдорж “Дээд математикийн бодлого, дасгал” УБ 1998 он

Математик

Õè÷ýýëèéí õîëáîãäîõ íîì ìàòåðèàë: 1. Ö.Ëõàìñ¿ðýí, Ñ.Íàìæèëäîðæ “Äýýä ìàòåìàòèêèéí áîäëîãî, äàñãàë” ÓÁ 1998 îí 2. ØÓÒÈÑ “Ìàòåìàòèêèéí õè÷ýýëèéí ñåìèíàðûí ãàðûí àâëàãà” ÓÁ 2006 îí Г.Болор-эрдэнэ гарын авлагаас 1-20р водлогыг бод.

Математик

Батлав.Тэнхэмийн эрхлэгч……………………./Са.Эрдэнэчимэг/ Семинар - 12 Хичээлийн сэдэв: Функцийн уламжлал, тодорхой бишийг тайлах Лопиталын дүрэм Хичээлийн зорилго: 1. Танин мэдэхүй: Энэ хичээлээр функцийн уламжлалын бодлогууд, функцийн хязгаарыг Лопиталын дүрмээр бодох бодлогуудыг авч үзнэ. 2. Хүмүүжүүлэх: Суралцагчдын өмнөх мэдлэг чадварт нь тулгуурлан оюун ухааны хүмүүжил олгоно. 3. Хөгжүүлэх: Суралцагчдын ой тогтоолт, ойлгох, харьцуулах, жиших, сэтгэн бодох чадварыг хөгжүүлнэ. Хичээлийн хэлбэр: Мэдлэгийг бататгах семинарын хичээл Хичээлийн арга: Харилцан ярианы арга, асуудал дэвшүүлэн шийдвэрлэх Хичээлийн хэрэглэгдэхүүн: Тараах материал, самбар, шохой Хичээлд холбогдох ном материал: 1. Ц.Лхамсүрэн, С.Намжилдорж “Дээд математикийн бодлого, дасгал” УБ 1998 он 2. ШУТИС “Математикийн хичээлийн семинарын гарын авлага” УБ 2006 он Д.д Хичээлийн үе шатууд Хугацаа /мин/ Багшийн сурган хүмүүжүүлэх үйл ажиллагаа Оюутны танин мэдэх үйл ажиллагаа 1. Зохион байгуулах хэсэг 3 • Ангиа зохион байгуулах • Мэндлэх • Хичээлийн гарчиг бичих • Хичээлийн зорилго, зорилтоо тодорхойлох • Хичээлд бэлтгэх • Багштай мэндлэх • Хичээлийн зорилго, зорилттой танилцах 2. Өмнө үзсэнийг сэргээн сануулах хэсэг 7 • Функцийн уламжлал • Функцийн хязгаарыг бодох Лопиталын дүрмийн тухай сэргээн сануулах Багштай харилцан ярилцан лекцийн хичээл дээр үзсэн ухагдахуун, хуулиуыг сэргээн санах 3. Оюутанд заавал эзэмшүүлэх мэдлэг арга барилын хэсэг 20 Төлөвлөсөн бодлогуудыг тайлбарлан хамтран бодох • Бодлогын бодолтуудыг бичиж авах • Ойлгоогүй зүйлүүдээ асууж авах 4. Оюутны шинэ мэдлэгийг бататгах хэсэг 55 Тараах материал дээрх бодлогуудыг бодуулах • Тараах материал дээрх бодлогуудыг бодох • Багшид шалгуулах • Зөв бурууг харилцан ярилцах 5. Дүгнэлт 5 • Функцээс уламжлал хэрхэн авах • Функцийн хязгаарыг уламжлалын тусламжтайгаар хэрхэн бодох тухай нэгтгэн дүгнэж ярилцах Багшийн тавьсан асуултанд хариулж, буруу, дутуу ойлгосон мэдлэгүүдээ асууж мэдэж авах Жишээ – 1 функцийн уламжлалыг ол. Бодолт: Жишээ – 2 функцийн уламжлалыг ол. Бодолт: Жишээ – 3 ыг бод. Бодолт: , функцууд нь үед тэг рүү тэмүүлэх ба нь хэлбэрийн тодорхой биш илэрхийлэл байна. Харин , тул ыг Лопиталийн дүрмээр олж болно. Иймд болно. Энд Лопиталийн дүрмийг 2 удаа хэрэглэв. Жишээ – 4 - ыг ол. Бодолт: гэж тэмдэглэе. Логарифм функц тасралтгүй учир болно. Иймд гэдгээс буюу Функцийн уламжлал, тодорхой бишийг тайлах Лопиталын дүрэм Функцийн уламжлалуудыг ол. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. , ; - г ол. 9. , - г ол. Лопиталийн дүрмээр бод. 1. 2. 3. 4. 5.

Математик

Ñåìèíàð - 11 Õè÷ýýëèéí ñýäýâ: Ôóíêöèéí òóõàé îéëãîëò, ýëåìåíòàð ôóíêö¿¿ä, Ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã¿é ÷àíàð Õè÷ýýëèéí çîðèëãî: 1. Òàíèí ìýäýõ¿é: Ýíý õè÷ýýëýýð ôóíêöèéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ, ôóíêöèéí õÿçãààðûí áîäëîãóóäûã àâ÷ ¿çíý. 2. Õ¿ì¿¿æ¿¿ëýõ: Ñóðàëöàã÷äûí ºìíºõ ìýäëýã ÷àäâàðò íü òóëãóóðëàí îþóí óõààíû õ¿ì¿¿æèë îëãîíî. 3. Õºãæ¿¿ëýõ: Ñóðàëöàã÷äûí îé òîãòîîëò, îéëãîõ, õàðüöóóëàõ, æèøèõ, ñýòãýí áîäîõ ÷àäâàðûã õºãæ¿¿ëíý. Õè÷ýýëèéí õýëáýð: Ìýäëýãèéã áàòàòãàõ ñåìèíàðûí õè÷ýýë Õè÷ýýëèéí àðãà: Õàðèëöàí ÿðèàíû àðãà, àñóóäàë äýâø¿¿ëýí øèéäâýðëýõ Õè÷ýýëèéí õýðýãëýãäýõ¿¿í: Òàðààõ ìàòåðèàë, ñàìáàð øîõîé Õè÷ýýëä õîëáîãäîõ íîì ìàòåðèàë: 1. Ö.Ëõàìñ¿ðýí, Ñ.Íàìæèëäîðæ “Äýýä ìàòåìàòèêèéí áîäëîãî, äàñãàë” ÓÁ 1998 îí 2. ØÓÒÈÑ “Ìàòåìàòèêèéí õè÷ýýëèéí ñåìèíàðûí ãàðûí àâëàãà” ÓÁ 2006 îí Хичээлийн агуулга: Ä.ä Õè÷ýýëèéí ¿å øàòóóä Õóãàöàà /ìèí/ Áàãøèéí ñóðãàí õ¿ì¿¿æ¿¿ëýõ ¿éë àæèëëàãàà Îþóòíû òàíèí ìýäýõ ¿éë àæèëëàãàà 1. Çîõèîí áàéãóóëàõ õýñýã 3 • Àíãèà çîõèîí áàéãóóëàõ • Ìýíäëýõ • Õè÷ýýëèéí ãàð÷èã áè÷èõ • Õè÷ýýëèéí çîðèëãî, çîðèëòîî òîäîðõîéëîõ • Õè÷ýýëä áýëòãýõ • Áàãøòàé ìýíäëýõ • Õè÷ýýëèéí çîðèëãî, çîðèëòòîé òàíèëöàõ 2. ªìíº ¿çñýíèéã ñýðãýýí ñàíóóëàõ õýñýã 7 • Òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ • Äàðààëëûí õÿçãààð • Ôóíêöèéí õÿçãààð • 1-ð ãàéõàìøèãò õÿçãààð • 2-ð ãàéõàìøèãò õÿçãààðûí òîäîðõîéëîëò òåîðåìûã ñýðãýýí ñàíóóëàõ Áàãøòàé õàðèëöàí ÿðèëöàí ëåêöèéí õè÷ýýë äýýð ¿çñýí óõàãäàõóóí, òåîðåìûã ñýðãýýí ñàíàõ 3. Îþóòàíä çààâàë ýçýìø¿¿ëýõ ìýäëýã àðãà áàðèëûí õýñýã 30 Òºëºâëºñºí áîäëîãóóäûã òàéëáàðëàí õàìòðàí áîäîõ • Áîäëîãûí áîäîëòóóäûã áè÷èæ àâàõ • Îéëãîîã¿é ç¿éë¿¿äýý àñóóæ àâàõ 4. Îþóòíû øèíý ìýäëýãèéã áàòàòãàõ õýñýã 45 Òàðààõ ìàòåðèàë äýýðõ áîäëîãóóäûã áîäóóëàõ • Òàðààõ ìàòåðèàë äýýðõ áîäëîãóóäûã áîäîõ • Áàãøèä øàëãóóëàõ • Ǻâ áóðóóã õàðèëöàí ÿðèëöàõ 5. Ä¿ãíýëò 5 • Òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ • Äàðààëëûí õÿçãààð • Ôóíêöèéí õÿçãààð • 1-ð ãàéõàìøèãò õÿçãààð • 2-ð ãàéõàìøèãò õÿçãààðûã õýðõýí áîäîõ òóõàé íýãòãýí ä¿ãíýæ ÿðèëöàõ Áàãøèéí òàâüñàí àñóóëòàíä õàðèóëæ, áóðóó, äóòóó îéëãîñîí ìýäëýã¿¿äýý àñóóæ ìýäýæ àâàõ Жишээ – 1 тîäîðõîéëîãäîõ ìóæèéã îë. Бодолт: Жишээ – 2 Жишээ – 3 Жишээ – 4 Жишээ – 5 Жишээ – 6 Дараах бодлогуудыг бод. Òîäîðõîéëîãäîõ ìóæèéã îë. 1. 2. 3. 4. Ôóíêöèéí õÿçãààð 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

Математик

Ñåìèíàð - 10 Ñýäýâ: 2-ð ýðýìáèéí ìóðóéíóóä Õè÷ýýëèéí çîðèëãî: 1. Òàíèí ìýäýõ¿é: Ýíý õè÷ýýëýýð ýëëèïñ, òîéðîã, ãèïåðáîë, ïàðàáîëûí áîäëîãóóäûã àâ÷ ¿çíý. 2. Õ¿ì¿¿æ¿¿ëýõ: Ñóðàëöàã÷äûí ºìíºõ ìýäëýã ÷àäâàðò íü òóëãóóðëàí îþóí óõààíû õ¿ì¿¿æèë îëãîíî. 3. Õºãæ¿¿ëýõ: Ñóðàëöàã÷äûí îé òîãòîîëò, îéëãîõ, õàðüöóóëàõ, æèøèõ, ñýòãýí áîäîõ ÷àäâàðûã õºãæ¿¿ëíý. Õè÷ýýëèéí õýëáýð: Ìýäëýãèéã áàòàòãàõ ñåìèíàðûí õè÷ýýë Õè÷ýýëèéí àðãà: Õàðèëöàí ÿðèàíû àðãà, àñóóäàë äýâø¿¿ëýí øèéäâýðëýõ Õè÷ýýëèéí õýðýãëýãäýõ¿¿í: Òàðààõ ìàòåðèàë, ñàìáàð øîõîé Õè÷ýýëд õîëáîãäîõ íîì ìàòåðèàë: 1. Ö.Ëõàìñ¿ðýí, Ñ.Íàìæèëäîðæ “Äýýä ìàòåìàòèêèéí áîäëîãî, äàñãàë” ÓÁ 1998 îí 2. ØÓÒÈÑ “Ìàòåìàòèêèéí õè÷ýýëèéí ñåìèíàðûí ãàðûí àâëàãà” ÓÁ 2006 îí Хичээлийн агуулга: Ä.ä Õè÷ýýëèéí ¿å øàòóóä Õóãàöàà /ìèí/ Áàãøèéí ñóðãàí õ¿ì¿¿æ¿¿ëýõ ¿éë àæèëëàãàà Îþóòíû òàíèí ìýäýõ ¿éë àæèëëàãàà 1. Çîõèîí áàéãóóëàõ õýñýã 3 • Àíãèà çîõèîí áàéãóóëàõ • Ìýíäëýõ • Õè÷ýýëèéí ãàð÷èã áè÷èõ • Õè÷ýýëèéí çîðèëãî, çîðèëòîî òîäîðõîéëîõ • Õè÷ýýëä áýëòãýõ • Áàãøòàé ìýíäëýõ • Õè÷ýýëèéí çîðèëãî, çîðèëòòîé òàíèëöàõ 2. ªìíº ¿çñýíèéã ñýðãýýí ñàíóóëàõ õýñýã 7 • Эллипс, гипербол, тойрог, параболын тэгшитгэл, фокусын цэг, директрисс шулууны тухай ñýðãýýí ñàíóóëàõ Áàãøòàé õàðèëöàí ÿðèëöàí ëåêöèéí õè÷ýýë äýýð ¿çñýí óõàãäàõóóí, òåîðåìûã ñýðãýýí ñàíàõ 3. Îþóòàíä çààâàë ýçýìø¿¿ëýõ ìýäëýã àðãà áàðèëûí õýñýã 30 Òºëºâëºñºí áîäëîãóóäûã òàéëáàðëàí õàìòðàí áîäîõ • Áîäëîãûí áîäîëòóóäûã áè÷èæ àâàõ • Îéëãîîã¿é ç¿éë¿¿äýý àñóóæ àâàõ 4. Îþóòíû øèíý ìýäëýãèéã áàòàòãàõ õýñýã 45 Òàðààõ ìàòåðèàë äýýðõ áîäëîãóóäûã áîäóóëàõ • Òàðààõ ìàòåðèàë äýýðõ áîäëîãóóäûã áîäîõ • Áàãøèä øàëãóóëàõ • Ǻâ áóðóóã õàðèëöàí ÿðèëöàõ 5. Ä¿ãíýëò 5 Эллипс, гипербол, тойрог, параболын тэгшитгэл, фокусын цэг, директрисс шулууны тэгшитгэлийг õýðõýí áичиõ òóõàé íýãòãýí ä¿ãíýæ ÿðèëöàõ Áàãøèéí òàâüñàí àñóóëòàíä õàðèóëæ, áóðóó, äóòóó îéëãîñîí ìýäëýã¿¿äýý àñóóæ ìýäýæ àâàõ Жишээ – 1 ба фокусуудын хоорондох зай 2c=8 бол эллипсийн тэгшитгэлийг бич. Бодолт: 2-ð ýðýìáèéí ìóðóéíóóä 1. òýã-òýé ýëëèïñèéí òýíõëýã¿¿ä, ôîêóñûí öýã, ýêñöåíòðèñèòåòèéã îë. 2. Êîîðäèíàòûí òýíõëýã¿¿äèéí õóâüä òýãø õýìòýé A(3;1) áà öýãèéã äàéðñàí ýëëèïñèéí òýãøèòãýëèéã áè÷. 3. Êîîðäèíàòûí òýíõëýã¿¿äèéí õóâüä òýãø õýìòýé ýëëèïñèéí òýãøèòãýëèéã äàðààõ ºãºãäñºí ç¿éëèéã àøèãëàí áè÷. a. Ôîêóñóóäûí õîîðîíäîõ çàé 2c=24, èõ òýíõëýã 2a=30 b. èõ õàãàñ òýíõëýã a=25, 4. (-3;1) öýã äýýð òºâòýé R=8 ðàäèóñòàé òîéðãèéí òýãøèòãýëèéã áè÷. 5. A(1;5), B(-4;0), C(5;-4) öýã¿¿äèéã äàéðñàí òîéðãèéí òýãøèòãýëèéã áè÷. 6. òîéðãèéí òºâèéí öýãèéí êîîðäèíàòóóä, ðàäèóñûã îë. 7. òýãøèòãýëòýé ãèïåðáîëûí ôîêóñûí öýã, áîäèò áà õóóðìàã òýíõëýã, ýêñöåíòðèñèòåòèéã îëæ áàéãóóë. 8. öýãèéã äàéðñàí ýêñöåíòðèñèòåò á¿õèé ãèïåðáîëûí ýãýë òýãøèòãýëèéã áè÷. 9. øóëóóí áà ãèïåðáîëûí îãòëîëöîëûí öýãèéã îë. 10. áà øóëóóíóóä ãèïåðáîëûã ø¿ðãýõ áîë ò¿¿íèé òýãøèòãýëèéã áè÷. 11. Êîîðäèíàòûí ýõ äýýð îðîéòîé F(0;5) öýã äýýð ôîêóñòàé ïàðàáîëûí òýãøèòãýëèéã áè÷. 12. ïàðàáîëîîñ øóëóóí õ¿ðòýëõ çàé íü õàìãèéí áàãà áàéõ Ì öýãèéã îë.

Математик

Семинар - 9 Сэдэв: Шулуун шугам, шулуун ба хавтгайн харилцан байршил Хичээлийн зорилго: 1. Танин мэдэхүй: Энэ хичээлээр шулууны хялбар тэгшитгэл, ерөнхий тэгшитгэл, параметрт тэгшитгэл, шулуунуудын хоорондох өнцгийг олох бодогуудыг авч үзнэ. 2. Хүмүүжүүлэх: Суралцагчдын өмнөх мэдлэг чадварт нь тулгуурлан оюун ухааны хүмүүжил олгоно. 3. Хөгжүүлэх: Суралцагчдын ой тогтоолт, ойлгох, харьцуулах, жиших, сэтгэн бодох чадварыг хөгжүүлнэ. Хичээлийн хэрэглэгдэхүүн, холбогдох ном материал: 1. Ц.Лхамсүрэн, С.Намжилдорж “Дээд математикийн бодлого, дасгал” УБ 1998 он 2. ШУТИС “Математикийн хичээлийн семинарын гарын авлага” УБ 2006 он Шулуун шугам, хавтгайн харилцан байршил 1. , шулууны тэгшитгэлийг бич. 2. Шулууны гэсэн ерөнхий тэгшитгэлийг хялбар дүрсэд шилжүүл. 3. шулууны хавтгайтай огтлолцсон цэгийг ол. 4. шулуун ба A(3;4;0) цэгийг дайрсан хавтгайн тэгшитгэлийг бич. 5. ; шулууны хоорондох өнцгийн косинусыг ол. 6. ; шулуунуудын хоорондох хамгийн богино зайг ол. 7. шулууны хавтгайтай үүсгэсэн өнцгийг ол. 8. M(2;3;-1) цэгийг дайрсан хавтгайтай параллель хавтгайн тэгшитгэлийг бич. 9. шулуун ба A(3;4;0) цэгийг дайрсан хавтгайн тэгшитгэлийг зохио. 10. M(-1;1;-2) цэгээс хавтгайд буулгасан перпендикулярын тэгшитгэлийг бич.

Математик

Семинар - 8 Сэдэв: Гадарга ба шугамын тэгшитгэл, хавтгайн тэгшитгэл Хичээлийн зорилго: 1. Танин мэдэхүй: Энэ хичээлээр хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл, цэгээс хавтгай хүртэлх зай, хоёр хавтгайн хоорондох өнцөг олох бодлогуудыг авч үзнэ. 2. Хүмүүжүүлэх: Суралцагчдын өмнөх мэдлэг чадварт нь тулгуурлан оюун ухааны хүмүүжил олгоно. 3. Хөгжүүлэх: Суралцагчдын ой тогтоолт, ойлгох, харьцуулах, жиших, сэтгэн бодох чадварыг хөгжүүлнэ. Хичээлийн хэрэглэгдэхүүн, холбогдох ном материал: 1. Ц.Лхамсүрэн, С.Намжилдорж “Дээд математикийн бодлого, дасгал” УБ 1998 он 2. ШУТИС “Математикийн хичээлийн семинарын гарын авлага” УБ 2006 он Гадарга ба шугамын тэгшитгэл, хавтгайн тэгшитгэл 1. A(3;-1;2) , B(4;-2;-1) цэгүүд өгөгдөв. А цэгийг дайрч векторт перпендикуляр байрлах хавтгайн тэгшитгэлийг зохио. 2. A(2;1;3), B(2;4;0), C(-3;0;4) цэгүүдийг дайрсан хавтгайн тэгшитгэл бич. 3. l, m –ийн ямар утгуудад , хавтгайнуудад паралель байх вэ? 4. P(-1;1;-2) цэгээс M1(1; - 1;1) , M2(-2;1;3) , M3(4; - 5; - 2) цэгүүдийг дайрсан хавтгай хүртэлх зайг ол. 5. хавтгайгаас 5 нэгж зайд байрлах цэгүүдээс тогтох гадаргуугийн тэгшитгэл бич. 6. l – ийн ямар утганд ба хавтгайнууд перпендикуляр байх вэ? 7. M0(3;4;-5) цэгийг дайрч , векторуудтай паралель байх хавтгайн тэгшитгэлийг бич. 8. Координатын эхээс хавтгайд перпендикуляр буулгавал N(3;5;2) цэг гарна. Хавтгайн тэгшитгэл бич. 9. A(1;1;1) , B(2;0;0) , C(5;6;1) , D(-4;0;1) цэгүүд ба паралель хоёр хавтгай , өгөгдсөн бол эдгээрийн харилцан байршилтыг тодорхойл. 10. Кубын хоёр талстын тэгшитгэл нь , бол кубын эзэлхүүнийг тодорхойл. 11. M0(3;5;-8) цэгээс хавтгай хүртэлх зайг ол.

Математик

Семинар - 7 Сэдэв: Хавтгайн аналитик геометрийн хялбар бодлогууд Хичээлийн зорилго: 1. Танин мэдэхүй: Энэ хичээлээр хоёр цэгийн хоорондох зай, гурвалжны талбай, хавтгай дээрх шулууны тэгшитгэлүүд, цэгээс шулуун хүртэлх зайг олох бодлогуудыг авч үзнэ. 2. Хүмүүжүүлэх: Суралцагчдын өмнөх мэдлэг чадварт нь тулгуурлан оюун ухааны хүмүүжил олгоно. 3. Хөгжүүлэх: Суралцагчдын ой тогтоолт, ойлгох, харьцуулах, жиших, сэтгэн бодох чадварыг хөгжүүлнэ. Хичээлийн хэрэглэгдэхүүн, холбогдох ном материал: 1. Ц.Лхамсүрэн, С.Намжилдорж “Дээд математикийн бодлого, дасгал” УБ 1998 он 2. ШУТИС “Математикийн хичээлийн семинарын гарын авлага” УБ 2006 он Хавтгайн аналитик геометрийн хялбар бодлогууд 1. A(2;-1), B(4;2) ба C(5;1) цэгүүд дээр оройтой гурвалжин адил хажуут гурвалжин болохыг батал. 2. A(-1;-1), B(0;-6) ба C(-10;-2) цэгүүд дээр оройтой гурвалжны А оройгоос татсан медианы уртыг ол. 3. A(1;5), B(2;7) ба C(4;11) цэгүүд дээр оройтой гурвалжны талбайг ол. 4. шулууны өнцгийн коэффициенттэй, хэрчим дэх тэгшитгэлийг бич. 5. Шулуунуудын хоорондох өнцгийг ол. a. ба 6. Хос шулуунууд паралель болохыг батал. a. ба 7. Хос шулуунууд перпендикуляр болохыг батал. a. ба 8. Ординат тэнхлэгийг b=1 хэрчмээр огтолж, абсцисс тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй өнцөг үүсгэх шулууны тэгшитгэлийг бич. 9. A(4;3) цэгээс шулуун хүртэлх зайг ол. 10. A(0;7), B(6;-1) ба C(2;1) цэгүүд дээр оройтой гурвалжны талуудын тэгшитгэл ба өнцгүүдийг ол. 11. Шулуунуудын хоорондох зайг ол. ба

Математик

Ñåìèíàð - 6 Хичээлийн сýäýâ: Âåêòîðóóäûí âåêòîð, ñêàëÿð, õîëèìîã ¿ðæâýð Õè÷ýýëèéí çîðèëãî: 1. Òàíèí ìýäýõ¿é: Ýíý õè÷ýýëýýð âåêòîðóóäûí âåêòîð, ñêàëÿð, õîëèìîã ¿ðæâýð¿¿äèéí áîäëîãóóäûã àâ÷ ¿çíý. 2. Õ¿ì¿¿æ¿¿ëýõ: Ñóðàëöàã÷äûí ºìíºõ ìýäëýã ÷àäâàðò íü òóëãóóðëàí îþóí óõààíû õ¿ì¿¿æèë îëãîíî. 3. Õºãæ¿¿ëýõ: Ñóðàëöàã÷äûí îé òîãòîîëò, îéëãîõ, õàðüöóóëàõ, æèøèõ, ñýòãýí áîäîõ ÷àäâàðûã õºãæ¿¿ëíý. Õè÷ýýëèéí õýëáýð: Ìýäëýãèéã áàòàòãàõ ñåìèíàðûí õè÷ýýë Õè÷ýýëèéí àðãà: Õàðèëöàí ÿðèàíû àðãà, àñóóäàë äýâø¿¿ëýí øèéäâýðëýõ Õè÷ýýëèéí õýðýãëýãäýõ¿¿í: Òàðààõ ìàòåðèàë, ñàìáàð øîõîé Õè÷ýýлд õîëáîãäîõ íîì ìàòåðèàë: 1. Ö.Ëõàìñ¿ðýí, Ñ.Íàìæèëäîðæ “Äýýä ìàòåìàòèêèéí áîäëîãî, äàñãàë” ÓÁ 1998 îí 2. ØÓÒÈÑ “Ìàòåìàòèêèéí õè÷ýýëèéí ñåìèíàðûí ãàðûí àâëàãà” ÓÁ 2006 îí Хичээлийн агуулга: Ä.ä Õè÷ýýëèéí ¿å øàòóóä Õóãàöàà /ìèí/ Áàãøèéí ñóðãàí õ¿ì¿¿æ¿¿ëýõ ¿éë àæèëëàãàà Îþóòíû òàíèí ìýäýõ ¿éë àæèëëàãàà 1. Çîõèîí áàéãóóëàõ õýñýã 3 • Àíãèà çîõèîí áàéãóóëàõ • Ìýíäëýõ • Õè÷ýýëèéí ãàð÷èã áè÷èõ • Õè÷ýýëèéí çîðèëãî, çîðèëòîî òîäîðõîéëîõ • Õè÷ýýëä áýëòãýõ • Áàãøòàé ìýíäëýõ • Õè÷ýýëèéí çîðèëãî, çîðèëòòîé òàíèëöàõ 2. ªìíº ¿çñýíèéã ñýðãýýí ñàíóóëàõ õýñýã 7 • Векторын вектор, скаляр, холимог үржвэрийн тухай ñýðãýýí ñàíóóëàõ Áàãøòàé õàðèëöàí ÿðèëöàí ëåêöèéí õè÷ýýë äýýð ¿çñýí óõàãäàõóóí, òåîðåìûã ñýðãýýí ñàíàõ 3. Îþóòàíä çààâàë ýçýìø¿¿ëýõ ìýäëýã àðãà áàðèëûí õýñýã 20 Òºëºâëºñºí áîäëîãóóäûã òàéëáàðëàí õàìòðàí áîäîõ • Áîäëîãûí áîäîëòóóäûã áè÷èæ àâàõ • Îéëãîîã¿é ç¿éë¿¿äýý àñóóæ àâàõ 4. Îþóòíû øèíý ìýäëýãèéã áàòàòãàõ õýñýã 55 Òàðààõ ìàòåðèàë äýýðõ áîäëîãóóäûã áîäóóëàõ • Òàðààõ ìàòåðèàë äýýðõ áîäëîãóóäûã áîäîõ • Áàãøèä øàëãóóëàõ • Ǻâ áóðóóã õàðèëöàí ÿðèëöàõ 5. Ä¿ãíýëò 5 Векторын вектор, скаляр, холимог үржвэрийг хэрхэн олох òóõàé íýãòãýí ä¿ãíýæ ÿðèëöàõ Áàãøèéí òàâüñàí àñóóëòàíä õàðèóëæ, áóðóó, äóòóó îéëãîñîí ìýäëýã¿¿äýý àñóóæ ìýäýæ àâàõ Жишээ – 1 , векторууд өгчээ. 1) 2) 1) Бодолт: , Жишээ – 2 A(-1;-2;4) , B(-4;-2;0) , C(3;-2;1) гурвалжны гурван орой болно. Түүний В орой дахь дотоод өнцгийг ол. Бодолт: гэе. Тэгвэл , векторууд хоорондоо өнцөг үүсгэнэ. Иймээс Жишээ – 3 Гурвалжны орой A(1;-1;2) , B(5;-6;2) , C(1;3;-1) болно. Түүний B оройгоос АС талд буулгасан өндрийн уртыг ол. Бодолт: Гурвалжны талбай h - В оройгоос АС талд буулгасан ºндөр ¯¿íýýñ òîìú¸îãîîð ºíäºð h- èéã îëú¸. Æèøýý – 4 Òåòðàýäðèéí îðîéíóóä A(2;3;1) , B(4;1;-2) , C(6;3;7) , D(-5;-4;8) öýã¿¿ä ºãºãäæýý. Òåòðàýäðèéí ýçýëõ¿¿íèéã îë. Áîäîëò: , , âåêòîðóóäààð áàéãóóëñàí ïàðàëëåëîïèïåäèéí ýçýëõ¿¿íèéã îëíî. Äàðààõ áîäëîãóóäûã áîä. 1. áà âåêòîðóóäûí ñêàëÿð ¿ðæâýðèéã îë. ¯¿íä: , , 2. áà âåêòîðóóäûí õîîðîíäîõ ºíöãèéã îë. 3. m – èéí ÿìàð óòãàíä áà âåêòîðóóä ïåðïåíäèêóëÿð áàéõ âý? 4. áà âåêòîðóóäûí âåêòîð ¿ðæâýðèéã îë. 5. Õýðýâ , áà âåêòîðóóäûí õîîðîíäîõ ºíöºã 1200 áîë - ûã òîäîðõîéë. 6. A(-1;4;1) , B(3;4;-2) , C(5;2;-1) öýã¿¿ä äýýð îðîéòîé ãóðâàëæíû ÀÂÑ ºíöãèéã òîäîðõîéë. 7. , âåêòîðóóäûí õîîðîíäîõ ºíöãèéí ñèíóñûã îë. 8. A(2;1;-1) , B(5;5;4) , C(3;2;-1) áà D(4;1;3) öýã¿¿ä äýýð îðîéòîé òåòðàýäðûí ýçëýõ¿¿íèéã îë. 9. , , áîë - ã îë. 10. , , áîë - ã îë. 11. , áà òýäãýýðèéí õîîðîíäîõ ºíöºã áîë - ûã îë. 12. , , áîë - ûã îë.

Математик

Ñåìèíàð - 5 Ñýäýâ: Âåêòîð, ò¿¿í äýýðõ ¿éëäë¿¿ä Õè÷ýýëèéí çîðèëãî: 1. Òàíèí ìýäýõ¿é: Ýíý õè÷ýýëýýð âåêòîð ãýæ þó áîëîõ, âåêòîðóóäûã íýìýõ, õàñàõ, âåêòîðóóäûí õîîðîíäîõ ºíöºã, âåêòîðóóäûã çàäëàõ òóõàé áîäëîãóóäûã àâ÷ ¿çíý. 2. Õ¿ì¿¿æ¿¿ëýõ: Ñóðàëöàã÷äûí ºìíºõ ìýäëýã ÷àäâàðò íü òóëãóóðëàí îþóí óõààíû õ¿ì¿¿æèë îëãîíî. 3. Õºãæ¿¿ëýõ: Ñóðàëöàã÷äûí îé òîãòîîëò, îéëãîõ, õàðüöóóëàõ, æèøèõ, ñýòãýí áîäîõ ÷àäâàðûã õºãæ¿¿ëíý. Õè÷ýýëèéí õýëáýð: Ìýäëýãèéã áàòàòãàõ ñåìèíàðûí õè÷ýýë Õè÷ýýëèéí àðãà: Õàðèëöàí ÿðèàíû àðãà, àñóóäàë äýâø¿¿ëýí øèéäâýðëýõ Õè÷ýýëèéí õýðýãëýãäýõ¿¿í: Òàðààõ ìàòåðèàë, ñàìáàð, øîõîé Õè÷ýýëд õîëáîãäîõ íîì ìàòåðèàë: 1. Ö.Ëõàìñ¿ðýí, Ñ.Íàìæèëäîðæ “Äýýä ìàòåìàòèêèéí áîäëîãî, äàñãàë” ÓÁ 1998 îí 2. ØÓÒÈÑ “Ìàòåìàòèêèéí õè÷ýýëèéí ñåìèíàðûí ãàðûí àâëàãà” ÓÁ 2006 îí Хичээлийн агуулга: Ä.ä Õè÷ýýëèéí ¿å øàòóóä Õóãàöàà /ìèí/ Áàãøèéí ñóðãàí õ¿ì¿¿æ¿¿ëýõ ¿éë àæèëëàãàà Îþóòíû òàíèí ìýäýõ ¿éë àæèëëàãàà 1. Çîõèîí áàéãóóëàõ õýñýã 3 • Àíãèà çîõèîí áàéãóóëàõ • Ìýíäëýõ • Õè÷ýýëèéí ãàð÷èã áè÷èõ • Õè÷ýýëèéí çîðèëãî, çîðèëòîî òîäîðõîéëîõ • Õè÷ýýëä áýëòãýõ • Áàãøòàé ìýíäëýõ • Õè÷ýýëèéí çîðèëãî, çîðèëòòîé òàíèëöàõ 2. ªìíº ¿çñýíèéã ñýðãýýí ñàíóóëàõ õýñýã 10 • Векторуудыг нэмэх, хасах • Векторуудын хоорондох өнцөг • Векторуудыг задлаж бодох тóõàé ñýðãýýí ñàíóóëàõ Áàãøòàé õàðèëöàí ÿðèëöàí ëåêöèéí õè÷ýýë äýýð ¿çñýí óõàãäàõóóí, õóóëèóûã ñýðãýýí ñàíàõ 3. Îþóòàíä çààâàë ýçýìø¿¿ëýõ ìýäëýã àðãà áàðèëûí õýñýã 15 Òºëºâëºñºí áîäëîãóóäûã òàéëáàðëàí õàìòðàí áîäîõ • Áîäëîãûí áîäîëòóóäûã áè÷èæ àâàõ • Îéëãîîã¿é ç¿éë¿¿äýý àñóóæ àâàõ 4. Îþóòíû øèíý ìýäëýãèéã áàòàòãàõ õýñýã 57 Òàðààõ ìàòåðèàë äýýðõ áîäëîãóóäûã áîäóóëàõ • Òàðààõ ìàòåðèàë äýýðõ áîäëîãóóäûã áîäîõ • Áàãøèä øàëãóóëàõ • Ǻâ áóðóóã õàðèëöàí ÿðèëöàõ 5. Ä¿ãíýëò 5 • Векторуудыг нэмэх, хасах • Векторуудын хоорондох өнцөг • Векторуудыг задлаж хэрхэн бодох тóõàé íýãòãýí ä¿ãíýæ ÿðèëöàõ Áàãøèéí òàâüñàí àñóóëòàíä õàðèóëæ, áóðóó, äóòóó îéëãîñîí ìýäëýã¿¿äýý àñóóæ ìýäýæ àâàõ Жишээ - 1 , хоёр вектор өгчээ. 1) 2) 3) векторуудыг ол. Бодолт: 1) 2) 3) Жишээ - 2 , векторын нийлбэр ба ялгавар векторын модулийг ол. Бодолт: 1) 2) Жишээ - 3 áà öýã¿¿ä ºãºãäæýý. õýð÷ìèéã õàðüöààãààð õóâààõ Ì öýãèéí êîîðäèíàòûã îë. Áîäîëò: áîëíî. M(-1;4;1) Дараах бодлогуудыг бод. 1. ÀÂÑ ãóðâàëæèíä ÀÌ øóëóóí íü

Математик

Ñåìèíàð - 4 Хичээлийн сýäýâ: Øóãàìàí òýãøèòãýëèéí ñèñòåìèéã áîäîõ çàéëóóëàõ àðãà, ìàòðèöûí õóâèéí óòãûí áîäëîãî Õè÷ýýëèéí çîðèëãî: 1. Òàíèí ìýäýõ¿é: Ýíý õè÷ýýëýýð øóãàìаí òýãøèòãýëèéí ñèñòåìèéã зайлуулах арга буюу Гауссын аргаар хэрхэн бодох áîëîí ìàòðèöûí хувийн утга ба хувийн векторыг õýðõýí олîõûã àâ÷ ¿çíý. 2. Õ¿ì¿¿æ¿¿ëýõ: Ñóðàëöàã÷äûí ºìíºõ ìýäëýã ÷àäâàðò íü òóëãóóðëàí îþóí óõààíû õ¿ì¿¿æèë îëãîíî. 3. Õºãæ¿¿ëýõ: Ñóðàëöàã÷äûí îé òîãòîîëò, îéëãîõ, õàðüöóóëàõ, æèøèõ, ñýòãýí áîäîõ ÷àäâàðûã õºãæ¿¿ëíý. Õè÷ýýëèéí õýëáýð: Ìýäëýãèéã áàòàòãàõ ñåìèíàðûí õè÷ýýë Õè÷ýýëèéí àðãà: Õàðèëöàí ÿðèàíû àðãà, àñóóäàë äýâø¿¿ëýí øèéäâýðëýõ Õè÷ýýëèéí õýðýãëýãäýõ¿¿í: Òàðààõ ìàòåðèàë, ñàìáàð, øîõîé Õè÷ýýлд õîëáîãäîõ íîì ìàòåðèàë: 1. Ö.Ëõàìñ¿ðýí, Ñ.Íàìæèëäîðæ “Äýýä ìàòåìàòèêèéí áîäëîãî, äàñãàë” ÓÁ 1998 îí 2. ØÓÒÈÑ “Ìàòåìàòèêèéí õè÷ýýëèéí ñåìèíàðûí ãàðûí àâëàãà” ÓÁ 2006 îí Хичээлийн агуулга: Ä.ä Õè÷ýýëèéí ¿å øàòóóä Õóãàöàà /ìèí/ Áàãøèéí ñóðãàí õ¿ì¿¿æ¿¿ëýõ ¿éë àæèëëàãàà Îþóòíû òàíèí ìýäýõ ¿éë àæèëëàãàà 1. Çîõèîí áàéãóóëàõ õýñýã 3 • Àíãèà çîõèîí áàéãóóëàõ • Ìýíäëýõ • Õè÷ýýëèéí ãàð÷èã áè÷èõ • Õè÷ýýëèéí çîðèëãî, çîðèëòîî òîäîðõîéëîõ • Õè÷ýýëä áýëòãýõ • Áàãøòàé ìýíäëýõ • Õè÷ýýëèéí çîðèëãî, çîðèëòòîé òàíèëöàõ 2. ªìíº ¿çñýíèéã ñýðãýýí ñàíóóëàõ õýñýã 10 • Шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар бодох арга • Хувийн утга ба хувийн векторыг хэрхэн олох тухай ñýðãýýí ñàíóóëàõ Áàãøòàé õàðèëöàí ÿðèëöàí ëåêöèéí õè÷ýýë äýýð ¿çñýí óõàãäàõóóí, õóóëèóûã ñýðãýýí ñàíàõ 3. Îþóòàíä çààâàë ýçýìø¿¿ëýõ ìýäëýã àðãà áàðèëûí õýñýã 25 Òºëºâëºñºí áîäëîãóóäûã òàéëáàðëàí õàìòðàí áîäîõ • Áîäëîãûí áîäîëòóóäûã áè÷èæ àâàõ • Îéëãîîã¿é ç¿éë¿¿äýý àñóóæ àâàõ 4. Îþóòíû øèíý ìýäëýãèéã áàòàòãàõ õýñýã 47 Òàðààõ ìàòåðèàë äýýðõ áîäëîãóóäûã áîäóóëàõ • Òàðààõ ìàòåðèàë äýýðõ áîäëîãóóäûã áîäîõ • Áàãøèä øàëãóóëàõ • Ǻâ áóðóóã õàðèëöàí ÿðèëöàõ 5. Ä¿ãíýëò 5 • Шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар бодох арга • Хувийн утга ба хувийн векторыг хэрхэн олох тухай íýãòãýí ä¿ãíýæ ÿðèëöàõ Áàãøèéí òàâüñàí àñóóëòàíä õàðèóëæ, áóðóó, äóòóó îéëãîñîí ìýäëýã¿¿äýý àñóóæ ìýäýæ àâàõ Жишээ – 1 ñèñòåìèéã áîä. Áîäîëò: Ñ¿¿ëèéí ìºð òóë ñèñòåì íèéöã¿é. Жишээ – 2 ñèñòåìèéã Ãàóññûí àðãààð áîä. Áîäîëò: Ãàóññûí àðãààð ºðãºòãºñºí ìàòðèöûã øàòàëñàí ìºð õýëáýðò øèëæ¿¿ëüå. Ñ¿¿ëèéí ìàòðèöàä äàðààõ ñèñòåì õàðãàëçàíà. Жишээ – 3 ìàòðèöûí õóâèéí óòãà, õóâèéí âåêòîðûã îë. Áîäîëò: ; . Ýíä õî¸ð õóâèéí óòãà äàâõöàæ áàéíà. ¿åä ñèñòåì íü ñèñòåìä øèëæèíý. Ýíäýýñ , ãýæ àâáàë ãàíö õóâèéí âåêòîð îëäîíî. Дараах бодлогуудыг бод. Äàðààõ ñèñòåìèéã çàéëóóëàõ àðãààð áîä. 1. 2. 3. 4. 5. Äàðààõ ìàòðèöóóäûí õóâèéí óòãóóä áà õóâèéí âåêòîðóóäûã îë. 1. 2. 3.

Математик

Ñåìèíàð - 3 Õè÷ýýëèéí ñýäýâ: Øóãàìàí òýãøèòãýëèéí ñèñòåìèéã Êðàìåðèéí ä¿ðýì, óðâóó ìàòðèöûí àðãààð áîäîõ Õè÷ýýëèéí çîðèëãî: 1. Òàíèí ìýäýõ¿é: Ýíý õè÷ýýëýýð øóãàìàí òýãøèòãýëèéí ñèñòåìèéã Êðàìåðèéí ä¿ðìýýð áîëîí óðâóó ìàòðèöûí àðãààð õýðõýí áîäîõûã àâ÷ ¿çíý. 2. Õ¿ì¿¿æ¿¿ëýõ: Ñóðàëöàã÷äûí ºìíºõ ìýäëýã ÷àäâàðò íü òóëãóóðëàí îþóí óõààíû õ¿ì¿¿æèë îëãîíî. 3. Õºãæ¿¿ëýõ: Ñóðàëöàã÷äûí îé òîãòîîëò, îéëãîõ, õàðüöóóëàõ, æèøèõ, ñýòãýí áîäîõ ÷àäâàðûã õºãæ¿¿ëíý. Õè÷ýýëèéí õýëáýð: Ìýäëýãèéã áàòàòãàõ ñåìèíàðûí õè÷ýýë Õè÷ýýëèéí àðãà: Õàðèëöàí ÿðèàíû àðãà, àñóóäàë äýâø¿¿ëýí øèéäâýðëýõ Õè÷ýýëèéí õýðýãëýãäýõ¿¿í: Òàðààõ ìàòåðèàë, ñàìáàð, øîõîé Õè÷ýýëд õîëáîãäîõ íîì ìàòåðèàë: 1. Ö.Ëõàìñ¿ðýí, Ñ.Íàìæèëäîðæ “Äýýä ìàòåìàòèêèéí áîäëîãî, äàñãàë” ÓÁ 1998 îí 2. ØÓÒÈÑ “Ìàòåìàòèêèéí õè÷ýýëèéí ñåìèíàðûí ãàðûí àâëàãà” ÓÁ 2006 îí Õè÷ýýëèéí àãóóëãà: Ä.ä Õè÷ýýëèéí ¿å øàòóóä Õóãàöàà /ìèí/ Áàãøèéí ñóðãàí õ¿ì¿¿æ¿¿ëýõ ¿éë àæèëëàãàà Îþóòíû òàíèí ìýäýõ ¿éë àæèëëàãàà 1. Çîõèîí áàéãóóëàõ õýñýã 3 • Àíãèà çîõèîí áàéãóóëàõ • Ìýíäëýõ • Õè÷ýýëèéí ãàð÷èã áè÷èõ • Õè÷ýýëèéí çîðèëãî, çîðèëòîî òîäîðõîéëîõ • Õè÷ýýëä áýëòãýõ • Áàãøòàé ìýíäëýõ • Õè÷ýýëèéí çîðèëãî, çîðèëòòîé òàíèëöàõ 2. ªìíº ¿çñýíèéã ñýðãýýí ñàíóóëàõ õýñýã 11 • Øóãàìàí òýãøèòãýëèéí ñèñòåìèéã Êðàìåðèéí ä¿ðìýýð áîäîõ • Óðâóó ìàòðèöûí àðãààð øóãàìàí òýãøèòãýëèéã õýðõýí áîäîõ òóõàé ñýðãýýí ñàíóóëàõ Áàãøòàé õàðèëöàí ÿðèëöàí ëåêöèéí õè÷ýýë äýýð ¿çñýí óõàãäàõóóí, õóóëèóûã ñýðãýýí ñàíàõ 3. Îþóòàíä çààâàë ýçýìø¿¿ëýõ ìýäëýã àðãà áàðèëûí õýñýã 20 Òºëºâëºñºí áîäëîãóóäûã òàéëáàðëàí õàìòðàí áîäîõ • Áîäëîãûí áîäîëòóóäûã áè÷èæ àâàõ • Îéëãîîã¿é ç¿éë¿¿äýý àñóóæ àâàõ 4. Îþóòíû øèíý ìýäëýãèéã áàòàòãàõ õýñýã 51 Òàðààõ ìàòåðèàë äýýðõ áîäëîãóóäûã áîäóóëàõ • Òàðààõ ìàòåðèàë äýýðõ áîäëîãóóäûã áîäîõ • Áàãøèä øàëãóóëàõ • Ǻâ áóðóóã õàðèëöàí ÿðèëöàõ 5. Ä¿ãíýëò 5 • Øóãàìàí òýãøèòãýëèéí ñèñòåìèéã Êðàìåðèéí ä¿ðìýýð õýðõýí áîäîõ • Óðâóó ìàòðèöûí àðãààð øóãàìàí òýãøèòãýëèéã õýðõýí áîäîõ òóõàé íýãòãýí ä¿ãíýæ ÿðèëöàõ Áàãøèéí òàâüñàí àñóóëòàíä õàðèóëæ, áóðóó, äóòóó îéëãîñîí ìýäëýã¿¿äýý àñóóæ ìýäýæ àâàõ Æèøýý – 1 ñèñòåìèéã áîä. Áîäîëò: Ãýäãýýñ ºãºãäñºí ñèñòåì òîäîðõîé áîëîõ òóë Êðàìåðèéí ä¿ðìýýð áîäú¸. øèéäòýé Æèøýý – 2 Áîäîëò: òóë òîäîðõîé áîëîõ áà øèéäèéã óðâóó ìàòðèöûí àðãààð áîäú¸. Äàðààõ òýãøèòãýëèéí ñèñòåì¿¿äèéã Êðàìåðèéí ä¿ðìýýð áîëîí óðâóó ìàòðèöûí àðãààð áîä. 1. 2. 3. 4. 5.

Математик

Ñåìèíàð - 2 Õè÷ýýëèéí ñýäýâ: Òîäîðõîéëîã÷, ò¿¿íèé ÷àíàðóóä , Óðâóó ìàòðèö Õè÷ýýëèéí çîðèëãî: 1. Òàíèí ìýäýõ¿é: Ýíý õè÷ýýëýýð òîäîðõîéëîã÷ ãýæ þó áîëîõ, òîäîðõîéëîã÷èéí ÷àíàðóóäûã àøèãëàæ áîäëîãî áîäîõ, óðâóó ìàòðèöûã áîäîõ áîäëîãóóäûã àâ÷ ¿çíý. 2. Õ¿ì¿¿æ¿¿ëýõ: Ñóðàëöàã÷äûí ºìíºõ ìýäëýã ÷àäâàðò íü òóëãóóðëàí îþóí óõààíû õ¿ì¿¿æèë îëãîíî. 3. Õºãæ¿¿ëýõ: Ñóðàëöàã÷äûí îé òîãòîîëò, îéëãîõ, õàðüöóóëàõ, æèøèõ, ñýòãýí áîäîõ ÷àäâàðûã õºãæ¿¿ëíý. Õè÷ýýëèéí õýëáýð: Ìýäëýãèéã áàòàòãàõ ñåìèíàðûí õè÷ýýë Õè÷ýýëèéí àðãà: Õàðèëöàí ÿðèàíû àðãà, àñóóäàë äýâø¿¿ëýí øèéäâýðëýõ Õè÷ýýëèéí õýðýãëýãäýõ¿¿í: Òàðààõ ìàòåðèàë, ñàìáàð, øîõîé Õè÷ýýëд õîëáîãäîõ íîì ìàòåðèàë: 1. Ö.Ëõàìñ¿ðýí, Ñ.Íàìæèëäîðæ “Äýýä ìàòåìàòèêèéí áîäëîãî, äàñãàë” ÓÁ 1998 îí 2. ØÓÒÈÑ “Ìàòåìàòèêèéí õè÷ýýëèéí ñåìèíàðûí ãàðûí àâëàãà” ÓÁ 2006 îí Õè÷ýýëèéí àãóóëãà: Ä.ä Õè÷ýýëèéí ¿å øàòóóä Õóãàöàà /ìèí/ Áàãøèéí ñóðãàí õ¿ì¿¿æ¿¿ëýõ ¿éë àæèëëàãàà Îþóòíû òàíèí ìýäýõ ¿éë àæèëëàãàà 1. Çîõèîí áàéãóóëàõ õýñýã 3 • Àíãèà çîõèîí áàéãóóëàõ • Ìýíäëýõ • Õè÷ýýëèéí ãàð÷èã áè÷èõ • Õè÷ýýëèéí çîðèëãî, çîðèëòîî òîäîðõîéëîõ • Õè÷ýýëä áýëòãýõ • Áàãøòàé ìýíäëýõ • Õè÷ýýëèéí çîðèëãî, çîðèëòòîé òàíèëöàõ 2. ªìíº ¿çñýíèéã ñýðãýýí ñàíóóëàõ õýñýã 10 • Òîäîðõîéëîã÷èéã áîäîõ • Óðâóó ìàòðèöûã õýðõýí áîäîõ òóõàé ñýðãýýí ñàíóóëàõ Áàãøòàé õàðèëöàí ÿðèëöàí ëåêöèéí õè÷ýýë äýýð ¿çñýí óõàãäàõóóí, õóóëèóûã ñýðãýýí ñàíàõ 3. Îþóòàíä çààâàë ýçýìø¿¿ëýõ ìýäëýã àðãà áàðèëûí õýñýã 20 Òºëºâëºñºí áîäëîãóóäûã òàéëáàðëàí õàìòðàí áîäîõ • Áîäëîãûí áîäîëòóóäûã áè÷èæ àâàõ • Îéëãîîã¿é ç¿éë¿¿äýý àñóóæ àâàõ 4. Îþóòíû øèíý ìýäëýãèéã áàòàòãàõ õýñýã 52 Òàðààõ ìàòåðèàë äýýðõ áîäëîãóóäûã áîäóóëàõ • Òàðààõ ìàòåðèàë äýýðõ áîäëîãóóäûã áîäîõ • Áàãøèä øàëãóóëàõ • Ǻâ áóðóóã õàðèëöàí ÿðèëöàõ 5. Ä¿ãíýëò 5 • Òîäîðõîéëîã÷èéã õýðõýí áîäîõ • Óðâóó ìàòðèöûã õýðõýí îëîõ òóõàé íýãòãýí ä¿ãíýæ ÿðèëöàõ Áàãøèéí òàâüñàí àñóóëòàíä õàðèóëæ, áóðóó, äóòóó îéëãîñîí ìýäëýã¿¿äýý àñóóæ ìýäýæ àâàõ Æèøýý – 1 Æèøýý – 2 Æèøýý – 3 ìàòðèöûí òîäîðõîéëîã÷èéã àëãåáðèéí ã¿éöýýëò àøèãëàí áîä. Áîäîëò: Òîäîðõîéëîã÷èéã õàìãèéí îëîí 0 àãóóëñàí ìºð þìóó áàãàíààð íü çàäëàæ áîäîõ íü õÿëáàð áàéäàã òóë III ìºðèéã ñîíãî¸. Æèøýý – 4 áîë óðâóó ìàòðèöûã îë. Áîäîëò: Äàðààõ áîäëîãóóäûã áîä. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 5. 6. 7. 8. Óðâóó ìàòðèöûã îë. 9. 10. 11. 12.

Математик

Ñåìèíàð - 1 Õè÷ýýëèéí ñýäýâ: Ìàòðèö, ò¿¿í äýýðõ ¿éëäë¿¿ä, ìàòðèöûí ðàíã Õè÷ýýëèéí çîðèëãî: 1. Òàíèí ìýäýõ¿é: Ýíý õè÷ýýëýýð ìàòðèö, ò¿¿í äýýðõ ¿éëäë¿¿ä, ìàòðèöûí ðàíã ãýæ þó áîëîõ, õýðõýí áîäîõ òàëààð àâ÷ ¿çíý. 2. Õ¿ì¿¿æ¿¿ëýõ: Ñóðàëöàã÷äûí ºìíºõ ìýäëýã ÷àäâàðò íü òóëãóóðëàí îþóí óõààíû õ¿ì¿¿æèë îëãîíî. 3. Õºãæ¿¿ëýõ: Ñóðàëöàã÷äûí îé òîãòîîëò, îéëãîõ, õàðüöóóëàõ, æèøèõ, ñýòãýí áîäîõ ÷àäâàðûã õºãæ¿¿ëíý. Õè÷ýýëèéí õýëáýð: Ìýäëýãèéã áàòàòãàõ ñåìèíàðûí õè÷ýýë Õè÷ýýëèéí àðãà: Õàðèëöàí ÿðèàíû àðãà, àñóóäàë äýâø¿¿ëýí øèéäâýðëýõ Õè÷ýýëèéí õýðýãëýãäýõ¿¿í: Òàðààõ ìàòåðèàë, ñàìáàð, øîõîé Õè÷ýýëèéí õîëáîãäîõ íîì ìàòåðèàë: 1. Ö.Ëõàìñ¿ðýí, Ñ.Íàìæèëäîðæ “Äýýä ìàòåìàòèêèéí áîäëîãî, äàñãàë” ÓÁ 1998 îí 2. ØÓÒÈÑ “Ìàòåìàòèêèéí õè÷ýýëèéí ñåìèíàðûí ãàðûí àâëàãà” ÓÁ 2006 îí Õè÷ýýëèéí àãóóëãà: Ä.ä Õè÷ýýëèéí ¿å øàòóóä Õóãàöàà /ìèí/ Áàãøèéí ñóðãàí õ¿ì¿¿æ¿¿ëýõ ¿éë àæèëëàãàà Îþóòíû òàíèí ìýäýõ ¿éë àæèëëàãàà 1. Çîõèîí áàéãóóëàõ õýñýã 3 • Àíãèà çîõèîí áàéãóóëàõ • Ìýíäëýõ • Õè÷ýýëèéí ãàð÷èã áè÷èõ • Õè÷ýýëèéí çîðèëãî, çîðèëòîî òîäîðõîéëîõ • Õè÷ýýëä áýëòãýõ • Áàãøòàé ìýíäëýõ • Õè÷ýýëèéí çîðèëãî, çîðèëòòîé òàíèëöàõ 2. ªìíº ¿çñýíèéã ñýðãýýí ñàíóóëàõ õýñýã 10 • Ìàòðèöóóäûã íýìýõ, õàñàõ ¿ðæèõ • Ìàòðèöûí ýëåìåíòàð õóâèðãàëò • Ìàòðèöûí ðàíãèéí òóõàé ñýðãýýí ñàíóóëàõ Áàãøòàé õàðèëöàí ÿðèëöàí ëåêöèéí õè÷ýýë äýýð ¿çñýí óõàãäàõóóí, õóóëèóûã ñýðãýýí ñàíàõ 3. Îþóòàíä çààâàë ýçýìø¿¿ëýõ ìýäëýã àðãà áàðèëûí õýñýã 20 Òºëºâëºñºí áîäëîãóóäûã òàéëáàðëàí õàìòðàí áîäîõ • Áîäëîãûí áîäîëòóóäûã áè÷èæ àâàõ • Îéëãîîã¿é ç¿éë¿¿äýý àñóóæ àâàõ 4. Îþóòíû øèíý ìýäëýãèéã áàòàòãàõ õýñýã 52 Òàðààõ ìàòåðèàë äýýðõ áîäëîãóóäûã áîäóóëàõ • Òàðààõ ìàòåðèàë äýýðõ áîäëîãóóäûã áîäîõ • Áàãøèä øàëãóóëàõ • Ǻâ áóðóóã õàðèëöàí ÿðèëöàõ 5. Ä¿ãíýëò 5 • Ìàòðèöóóäûã íýìýõ, õàñàõ, ¿ðæèõ • Ìàòðèöûí ðàíãèéã ýëåìåíòàð õóâèðãàëòûí òóñëàìæòàéãààð õýðõýí îëîõ òóõàé íýãòãýí ä¿ãíýæ ÿðèëöàõ Áàãøèéí òàâüñàí àñóóëòàíä õàðèóëæ, áóðóó, äóòóó îéëãîñîí ìýäëýã¿¿äýý àñóóæ ìýäýæ àâàõ Æèøýý – 1 Æèøýý – 2 Æèøýý – 3 ìàòðèöûí ðàíãèéã îë. Òýãýýñ ÿëãààòàé ìèíîð 2. Èéìýýñ Äàðààõ áîäëîãóóäûã áîä. 1. áîë À ìàòðèöûí õýìæýýã òîãòîîæ õºðâ¿¿ë. 2. áà áîë à) À+ â) A – BÒ ñ) 3À – ã îë. 3. áà áîë a) AB b) BA c) A2 d) B2 – ã îë. 4. - ã îë. 5. - ã îë. 6. áà áîë a) ATA b) BTB c) A+BT 7. áà áîë a) (AB)T b) BTAT – ã îë. Äàðààõ ìàòðèöóóäûí ðàíãèéã îë. 8. 9. 10.

Математик

Лекц 10 Сэдэв: 2-р эрэмбийн муруйнууд Хичээлийн зорилго: 1. Танин мэдэхүй: Энэ хичээлээр эллипс, тойрог, гипербол, параболын тэгшитгэлүүдийг авч үзнэ. 2. Хүмүүжүүлэх: Суралцагчдын өмнөх мэдлэг чадварт нь тулгуурлан оюун ухааны хүмүүжил олгоно. 3. Хөгжүүлэх: Суралцагчдын ой тогтоолт, ойлгох, харьцуулах, жиших, сэтгэн бодох чадварыг хөгжүүлнэ. Хичээлийн хэрэглэгдэхүүн, холбогдох ном материал: 1. Ж.Баасандорж нар “Инженерийн математик-1” УБ 1999 он 2. Х.Гэндэнжамц, Л.Шагдар, Ү.Санжмятав “Дээд математик-1” УБ 1986 он 3. Ц.Лхамсүрэн, С.Намжилдорж “Дээд математикийн бодлого, дасгал” УБ 1998 2-р эрэмбийн муруйнууд 1. Эллипс: Фокус гэж нэрлэгдэх бэхлэгдсэн хоёр цэг хүртэлх зайнуудын нийлбэр тготмол байх хавтгайн бүх цэгийн олонлогийг эллипс гэнэ. (1) (1) тэгшитгэлийг эллипсийн хялбар тэгшитгэл буюу каноник тэгшитгэл гэнэ. Үүнд а ба b нь өгөгдсөн эерэг тоонууд бөгөөд тэдгээрийг эллипсийн хагас тэнхлэгүүд гэж нэрлэх ба a>b гэж үзээд фокусуудын хоорондох зайн хагасыг с гэвэл байна. Энэ үед (1) эллипсийн фокусууд нь , болно. (1) тэгшитгэлтэй эллипсийн абсцисс болон ординат тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүд нь A1(-a;0) , A2(a;0) , B1(0; - b) , B2(0;b) бөгөөд энэ 4 цэгийг эллипсийн оройн цэгүүд гэнэ. Жишээ – 1 эллипсийг дүрсэлж фокусуудыг ол. Бодолт: Бодолт: a=4 , b=3 , Тодорхойлолт – 2 Эллипсийн фокусуудын хоорондох зайг их тэнхлэгт харьцуулсан харьцааг түүний эксцентриситет гэнэ. Эксцентриситетийг үсгээр тэмдэглэх ба тодорхойлолтоор , a>c тул ямар ч эллипсийн эксцентриситет <1 байна. Хэрэв M(x;y) цэг эллипс дээр орших дурын цэг мөн r1, r2 нь түүнээс F1, F2 фокусууд хүрэх зайнууд бол эдгээрийг М цэгийн фокусын радиус гэнэ. хоёр шулууныг (1) эллипсийн директрис гэнэ. Эллипсийн директрисийн хувьд дараах теорем хүчинтэй. Теорем – 1 Хэрэв r нь эллипсийн дурын цэгээс аль нэг фокус хүрэх зай, d нь мөн цэгээс энэ фокуст харгалзах директрис хүрэх зай бол байна. Жишээ – 2 тэгшитгэлтэй эллипс өгсөн бол 1. Хагас тэнхлэгүүдийш ол. 2. Фокусуудыг ол 3. Эксцентрисистетийг ол. Бодолт: Өгсөн тэгшитгэлийн 2 талыг 225-д хуваавал 1. a=5 , b=3 2. c=4 , F1(-4;0) , F2(4;0) 3. болно. Жишээ – 3 эллипс дээр орших цэгийн фокусын радиус дээр байх шулууны тэгшитгэлийг бич. Бодолт: Олох шулууны тэгшитгэлийг гэе. М1 цэгийг дайрах тул (i) болно. Эллипсийн фокусуудыг олъё. c=2 , F1(-2;0) , F2(2;0) болох тул хоёр тохиолдол байна. 1. F1 фокусыг олох шулуун дайрах тул 0=-2a+b үүнийг (ii) гэвэл (i) ба (ii) –ээс , гэж гарна. Өөрөөр хэлбэл шулуун байна. 2. F2 фокусыг өгсөн шулуун дайрч болох тул мөн шулуун байна. Жишээ – 4 эллипсийн баруун фокусаас эллипс үрэх зай нь 14 нэгж байх цэгийг ол. Бодолт: a=10 , b=6 буюу их тэнхлэг 10 тул баруун фокусаас 14 нэгж байх цэг координатын зүүн хагас хавтгайд байна. Тэрхүү цэгийг гэе. Эллипсийн фокусыг олбол байна. (a) гэе. Мөн М цэг эллипс дээр орших тул (b) гэе. (a) ба (b) –ээс , болно. Жишээ – 5 шулуун ба эллипсийн огтлолцолын цэгийг ол. Бодолт: Олох цэг шулуун ба эллипсийг дайрах тул дараах системийг бодоход хангалттай. системээс x=3 , гэж гарна. 2. Тойрог: Хэрэв эллипсийн хувьд a=b бол эллипс нь тойрог болно. Тойргийн хялбар тэгшитгэл нь (2) хэлбэртэй байна. Энд цэг дээр эхтэй R радиустай тойрог байна. , үед тэгшитгэл гарах ба энэ нь координатын эх дээр төвтэй тойргийн тэгшитгэл юм. Жишээ – 6 шулуунтай M(3;1) цэгт шүргэлцэх радиус бүхий тойргийн тэгшитгэлийг бич. Бодолт: Тойргийн тэгшитгэл нь хэлбэртэй байх ёстой. М цэг тойргийн цэг тул (*) Мөн тойргийн төвөөс өгсөн шулуун хүрэх зай нь радиустай тэнцүү байх тул эндээс эсвэл байна. Энэ 2-ийг (*) – той систем болгон бодвол а. , b. , гэж олдох ба , юм. 3. Гипербол: Фокус гэж нэрлэгдэх бэхлэгдсэн хоёр цэг хүртэлх зайнуудын ялгавар тогтмол тоо байх хавтгайн бүх цэгийн олонлогийг гипербол гэнэ. (3) (3) тэгшитгэлийг гиперболын хялбар тэгшитгэл буюу каноник тэгшитгэл гэнэ. Үүнд а,b эерэг тогтмол тоонууд бөгөөд а - г бодит хагас тэнхлэг, b – г хуурмаг хагас тэнхлэг гэнэ. (3) гиперболийн фокусуудын хоорондох зайн хагас нь с бол байна. (3) гиперболын фокусууд нь F1(-c;0) , F2(c;0) байна. шулуунууд нь гиперболын асимптотууд нь болно. Жишээ – 7 гиперболийг дүрсэлж фокусуудыг ол. Бодолт: a=3 , b=2 , , Хэрэв a=b бол адил хажуут гипербол гэнэ. Гиперболийн фокусуудын хоорондох зайг бодит тэнхлэгт харьцуулсан харьцааг түүний эксцентриситет гэнэ. Эксцентриситетийг үсгээр тэмдэглэх ба тодорхойлолтоор , a1 байна. Хэрэв M(x;y) цэг гипербол дээр орших дурын цэг мөн r1, r2 нь түүнээс F1, F2 фокусууд хүрэх зайнууд бол үед үед байна. r1, r2 – ийг М цэгийн фокусын радиус гэнэ. хоёр шулууныг (3) гиперболийн директрис гэнэ. Директрисийн хувьд дараах теорем хүчинтэй. Теорем – 2 Хэрэв r нь гиперболын дурын цэгээс аль нэг фокус хүрэх зай d нь мөн цэгээс энэ фокуст харгалзах директрис хүрэх зай бол байна. Жишээ – 8 гипербол өгсөн бол 1. Хагас тэнхлэгүүдийг ол. 2. Фокусуудыг ол. 3. Эксцентриситетийг ол. Бодолт: Өгсөн тэгшитгэлийн 2 талыг 144-т хуваавал 1. a=3 , b=4 2. c=5 , F1(-5;0) , F2(5;0) 3. 4. Парабол: Фокус гэж нэрлэгдэх бэхлэгдсэн цэг болон директрис хэмээх өгсөн шулуунаас ижил зайтай орших цэгүүдийн олонлогийг парабол гэнэ. Фокусаас директрис хүрэх зайг р гээд параболын параметр гэнэ. Хэрэв шулуун параболын директрис, параболын фокус бол параболын тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна. Үүнийг параболын хялбар тэгшитгэл гэнэ. Параболын дурын цэгээс фокус хүрэх зайг директрис хүрэх зайд харьцуулсан харьцааг параболын эксцентриситет гэх ба ямагт байна. Хэрэв М цэг парабол дээр орших дурын цэг, r нь түүнээс фокус хүрэх зай бол байна. Үүнийг М цэгийн фокусын радиус гэнэ. Жишээ – 10 F(-7;0) фокустай директрисын тэгшитгэл нь байх параболын тэгшитгэлийг гарга. Бодолт: Фокусын томъёо ёсоор p=14 Жишээ – 11 Ординат нь 6 байх параболын М цэгийн фокусын радиусыг ол. Бодолт: М цэг парабол дээр байх тул гэдгээс x=3 болно. Фокусын радиусын томъёогоор , r=9 болно.

Математик

Лекц 9 Сэдэв: Шулуун шугам, шулуун ба хавтгайн харилцан байршил, хавтгай ба шулууны бодлогууд Хичээлийн зорилго: 1. Танин мэдэхүй: Энэ хичээлээр шулууны хялбар тэгшитгэл, параметрт тэгшитгэл, ерөнхий тэгшитгэл, хоёр цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэл, огтлолцсон хоёр шулууны хоорондох өнцөг, хоёр шулууны параллель ба перпендикуляр байх нөхцөлүүд, хавтгай ба шулууны бодлогуудыг авч үзнэ. 2. Хүмүүжүүлэх: Суралцагчдын өмнөх мэдлэг чадварт нь тулгуурлан оюун ухааны хүмүүжил олгоно. 3. Хөгжүүлэх: Суралцагчдын ой тогтоолт, ойлгох, харьцуулах, жиших, сэтгэн бодох чадварыг хөгжүүлнэ. Хичээлийн хэрэглэгдэхүүн, холбогдох ном материал: 1. Ж.Баасандорж нар “Инженерийн математик-1” УБ 1999 он 2. Х.Гэндэнжамц, Л.Шагдар, Ү.Санжмятав “Дээд математик-1” УБ 1986 он 3. Ц.Лхамсүрэн, С.Намжилдорж “Дээд математикийн бодлого, дасгал” УБ 1998 Шулуун шугам, шулуун ба хавтгайн харилцан байршил Огторгуйд (хавтгайд) L шулуун өгөдсөн гэж үзье. Энэ шулуун нь түүн дээх байх М0 цэг, энэ шулуунтай параллель байх вектороор бүрэн тодорхойлогдоно. Тодорхойлолт – 1 Өгөгдсөн шулуунтай параллель байх тэгээс ялгаатай векторыг энэ шулууны чиглүүлэгч вектор гэнэ. 1. M0(a,b,c) цэгийг дайрсан чиглүүлэгч вектортой параллель шулууны тэгшитгэл нь (1) хэлбэртэй байна. Үүнийг шулууны хялбар тэгшитгэл гэнэ. 2. (1) тэгшитгэл дэхь тэнцүү ноогдвор бүрийг t – тэй тэнцүүлж x,y,z –ийг олбол (2) болно. Үүнийг шулууны параметрт тэгшитгэл гэнэ. t– параметр гэнэ. 3. , гэсэн өгөгдсөн хоёр цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэлийг дараах томъёогоор бодно. (3) 4. Декартын тэгш өнцөгт координатын системд , параллель биш хоёр хавтгай өгөгдсөн байг. Энэ хоёр хавтгай ямар нэг шулуунаар огтлолцоно. (4) (4) – г огторгуй дахь шулууны ерөнхий тэгшитгэл гэнэ. Шулууны ерөнхий тэгшитгэл (4) өгөгдсөн байвал хялбар тэгшитгэлийг нь олж болно. Шулууны чиглүүлэгч вектор нь , векторуудад перпендикуляр байх учир эдгээрийн вектор үржвэрээр тодорхойлогдоно. (4) системийн аль нэг шийд буюу шулууны цэгийг олбол шулууны хялбар тэгшитгэл (4*) болно. Үүнд чиглүүлэгч вектор , , 5. Огторгуйн хоёр шулуун огтлолцсон, параллель, солбисон байж болно. Хоёр огтлолцсон шулууны хоорондох өнцөг нь (5) томъёогоор илэрхийлэгдэнэ. Үүнд: , нь шулуунуудын чиглүүлэгч векторууд юм. Хоёр шулууны параллель байх нөхцөл нь байна. Хоёр шулууны перпендикуляр байх нөхцөл нь байна. 6. Шулууны хавтгай дээрх проекцтойгоо үүсгэх өнцгийг шулуун хавтгай хоёрын хоорондох өнцөг гэнэ. шулуун хавтгай хоёрын хоорондох өнцөг нь томъёогоор илэрхийлэгдэнэ. Шулуун хавтгай хоёр параллель бол байна. Шулуун хавтгай хоёр перпендикуляр бол байна. Хавтгай ба шулууны бодлогууд 1. , , цэгүүдийг дайрсан хавтгайн тэгшитгэл нь 2. шулуун, түүний гадна орших цэгийг дайрсан хавтгайн тэгшитгэл нь дараах томъёогоор тодорхойлогдоно. , , векторууд компланар учир 3. Параллель хоёр шулууныг дайрсан хавтгайн тэгшитгэл: , , , цэгүүд хавтгай дээр оршино. M(x,y,z) нь хавтгайн дурын цэг бол , , векторууд компланар тул 4. Огтлолцсон , шулуунуудыг дайрсан хавтгайн тэгшитгэл: Дурын цэгийг нь M(x,y,z) гэвэл 5. хавтгай шулууны хоорондох өнцгийг олох томъёо: Шулууны хавтгайд налсан өнцгийг гэвэл хавтгайн нормаль - ийн шулууны чиглүүлэгчтэй үүсгэсэн өнцөг байна. Ийм учраас болно. 6. шулуун хавтгайн огтлолцлын цэгийг олох томъёо: Шулууны тэгшитгэлийг параметр хэлбэртэй бичиж хавтгайн тэгшитгэлд орлуулж бол гэж олоод шулууны параметр тэгшитгэлд орлуулж олно. Жишээ – 1 М0(2;1;3) цэгийг дайрсан вектортой параллель шулууны тэгшитгэл бич. Бодолт: Шулууны хялбар тэгшитгэлийн томъёо ёсоор олох шулууны тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна. Жишээ – 2 шулууны хавтгайтай огтлолцсон цэгийг ол. Бодолт: Эхлээд шулууны параметрт тэгш тэгшитгэлийг бичвэл x=2+4t , y=3+2t, z=-1+5t болно. Үүнийг өгөгдсөн хавтгайн тэгшитгэлд орлуулан тавивал буюу болно. Эндээс t=1 байна. t=1 – ийг шулууны параметрт тэгшитгэлд орлуулан тавивал , , болно. Иймд шулуун ба хавтгайн огтлолцлын цэг нь M(6;5;4) байна. Жишээ – 3 шулуун ба хавтгайн хоорондох өнцгийг ол. Бодолт: Шулуун хавтгай хоёрын хоорондох өнцөг олох томъёо ёсоор байна. Жишээ – 4 M(-1;2;-3) цэгийг дайрсан шулуунд перпендикуляр хавтгайн тэгшитгэлийг зохио. Бодолт: Хавтгай шулуунд перпендикуляр тул түүний чиглүүлэгч векторт мөн перпендикуляр байна. Иймд энэ тохиололд шулууны чиглүүлэгч вектор нь хавтгайн нормаль вектор болох тул хавтгайн тэгшитгэл нь буюу байна. Жишээ – 5 Жишээ – 2 ба шулуунуудын хоорондох өнцгийг ол. Бодолт: Хоёр шулууны хоорондох өнцөг нь тэдгээрийн чиглүүлэгч векторуудын хоорондох өнцөгтэй давхцана. Ерөнхий тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулууны чиглүүлэгч вектор түүнийг тодорхойлогч хавтгайнуудын нормаль векторуудын вектор үржвэртэй тэнцэнэ. Ийм учраас 1-р шулууны чиглүүлэгч вектор нь 2-р шулууны чиглүүлэгч вектор нь Иймд өгөгдсөн хоёр шулууны хоорондох өнцөг нь болно. Жишээ – 6 A(-1;2;3) ба B(2;6;-2) цэгүүдийг дайрсан шулууны тэгшитгэлийг бичиж, түүний чиглүүлэгч косинусуудыг ол. Бодолт: Өгөгдсөн хоёр цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэлийг санавал шулууны тэгшитгэл нь буюу болно. Энэ шулуун нь вектортой параллель тул түүний чиглүүлэгч косинусууд нь векторын чиглүүлэгч косинустай давхцана. Иймд векторын чиглүүлэгч косинусууд нь

Математик

Лекц 8 Сэдэв: Гадарга ба шугамын тэгшитгэл Хичээлийн зорилго: 1. Танин мэдэхїй: Энэ хичээлээр хавтгайн тэгшитгэл, цэгээс хавтгай хїртэлх зай, хавтгайн ерєнхий тэгшитгэл, перпендикуляр ба нормаль вектор, хоёр хавтгайн хоорондох єнцєг, хавтгайн эгэл тэгшитгэл, багц хавтгай гэсэн ойлголт, томъёонуудыг авч їзнэ. 2. Хїмїїжїїлэх: Суралцагчдын ємнєх мэдлэг чадварт нь тулгуурлан оюун ухааны хїмїїжил олгоно. 3. Хєгжїїлэх: Суралцагчдын ой тогтоолт, ойлгох, харьцуулах, жиших, сэтгэн бодох чадварыг хєгжїїлнэ. Хичээлийн хэрэглэгдэхїїн, холбогдох ном материал: 1. Ж.Баасандорж нар “Инженерийн математик-1” УБ 1999 он 2. Х.Гэндэнжамц, Л.Шагдар, Ї.Санжмятав “Дээд математик-1” УБ 1986 он 3. Ц.Лхамсїрэн, С.Намжилдорж “Дээд математикийн бодлого, дасгал” УБ 1998 Гадарга ба шугамын тэгшитгэл Хавтгай дээр хоёр їл мэдэгдэхтэй f(x,y)=0 тэгшитгэл нь ерєнхийдєє ямар нэг шугам тодорхойлогдгийг авч їзсэн. Їїнтэй тєсєєтэй огторгуйд F(x,y,z)=0 Тэгшитгэл ерєнхийдєє ямар нэг гааргуу тодорхойлдог. Тодорхойлолт - 1 Гадаргуу дээр орших цэг бїрийн координат хангадаг, гадаргуугийг гадна орших аль ч цэгийн координат хангадаггїй тэгшитгэлийг гадаргын тэгшитгэл гэнэ. Иймээс гадаргуугийн тэгшитгэл єгєгдсєн бол огторгуйн ямар нэг цэгийг, тэр гадаргуу дээр орших эсэхийг тогтоож болно . Алгебрын гадаргуунууд Огторгуйн аналитик геометрийн судлах гол зїйл нь декартын тэгш єнцєгт координатын системд алгебрын тэгшитгэлээр тодорхойлогдох гадаргуунууд юм. Тэдгээрийн тэгшитгэл нь: (1) (2) Тодорхойлолт – 2 (1) тэгшитгэлийг нэгдїгээр зэргийн ерєнхий тэгшитгэл, (2) тэгшитгэлийг хоёрдугаар зэргийн ерєнхий тэгшитгэл гэж тус нэрлэнэ. Хавтгайн тэгшитгэл, Цэгээс хавтгай хїртэлх зай 1. цэгийн дайрсан векторт перпендикуляр хавтгайн тэгшитгэлийг томъёогоор бичнэ. 2. 1-р зэргийн гурван їл мэдэгдэхтэй тэгшитгэлийг хавтгайн ерєнхий тэгшитгэл гэнэ. Їїнд вектор нь хавтгайд перпендикуляр ба тїїнийг нормаль вектор гэнэ. 3. Хавтгайн ерєнхий тэгшитгэлийн тухайн тохиолдлуудыг авч їзье. а. D=0 байвал тэгшитгэл нь координатын эхийг дайрсан хавтгайг б. C=0 бол тэгшитгэл нь Oz тэнхлэгтэй в. A=0 бол тэгшитгэл нь Ох тэнхлэгтэй г. B=0 бол тэгшитгэл нь Оу тэнхлэгтэй параллель хавтгайг тус тус тодорхойлно. е. C=0, D=0 бол тэгшитгэл нь Oz тэнхлэгийг ё. B=0, D=0 бол тэгшитгэл нь Oz тэнхлэгийг дайрсан хавтгайг тус тус тодорхойлно. 4. Координатуудын хавтгайтай параллель хавтгайнууд а. нь Oyz - тай б. нь Oxz - тай в. нь Оху хавтгайтай параллель хавтгайг тодорхойлно. 5. Координатуудын хавтгайнууд нь харгалзан x=0, y=0, z=0 тэгшитгэлтэй байна. 6. Координатуудын тэнхлэгїїдийг харгалзан a,b,c хэрчмээр огтолсон хавтгайн тэгшитгэл нь: байна. Їїнийг хавтгайн хэрчмээр илэрхийлэгдэх тэгшитгэл гэнэ. 7. Координатын эхээс хавтгайд буулгасан перпендикулярын уртыг р –ээр тэмдэглэе. Хавтгайн нормаль нэгж векторыг гэж тэмдэглэе. Тэгвэл болно. Їїнд: нь -ын координатын тэнхлэгїїдтэй їїсгэсэн єнцгїїд. Энэ їед хавтгайн тэгшитгэлийг хэлбэртэй бичиж болох ба тїїнийг хавтгайн эгэл тэгшитгэл гэнэ. Хавтгайн ерєнхий тэгшитгэлийг эгэл дїрсэд шилжїїлэхийн тулд тэгшитгэлийн хоёр талыг нормаль векторын модулийг D –ийн эсрэг тэмдэгтэй авч хуваана. Єєрєєр хэлбэл хавтгайн эгэл тэгшитгэл нь болно. Їїнд язгуурын ємнєх тэмдгийг D-ийн эсрэгээр сонгон авна. 8. цэгээс хавтгай хїртэлх хазайлт нь: томъёогоор тодорхойлогдох ба энэ хазайлт хэрэв М1 цэг координатын эхтэй хамт хавтгайн нэг талд оршвол сєрєг, хоёр талд нь оршвол эерэг тэидэгтэй тоо байна. Хазайлтын модуль нь цэгээс хавтгай хїрэх зай болох ба энэ нь 9. Хоёр хавтгай огтолцсон, параллель, давхацсан байж болно. а. b. гэсэн тэгшитгэлтэй огтолцсон хоёр хавтгайн хоорондох єнцєг нь томъёогоор тодорхойлогдоно. Зєвхєн нєхцєлд хоёр хавтгай перпендикуляр байх тул нь хавтгайнууд перпендикуляр байх нєхцєл болно. Нормаль векторууд нь коллинеар байх тохиололд л хавтгайнууд параллель байх тул нь хавтгайнууд параллель байх нєхцєл юм. хавтгайнууд давхцсан байх нєхцєл нь байна. 10. Нэг шулууныг дайрсан хавтгайнуудыг багц хавтгай гэнэ. Огтолцлын шулууныг нь багцын тэнхлэг гэнэ. Багц нь хоёр хавтгайгаараа бїрэн тодорхойлогдоно. Багц хавтгайн дурын хавтгайг єгєгдсєн , хавтгайнуудын тэгшитгэлийн тусламжтайгаар гэж илэрхийлнэ. Энд дурын бодит тоо Жишээ – 1 A(2;3;-1) цэгийг дайрч, B(1;0;-1), C(-3;1;-2) цэгїїдийг дайрсан шулуунд перпендикуляр байх хавтгайн тэгшитгэлийг бич. Бодолт: вектор хавтгайн нормаль вектор болж чадах учир тїїний координатыг олж (1) томъёонд тавихад болох тул хавтгайн тэгшитгэл гэж гарна. Жишээ – 2 цэгийг дайрч , хавтгайнуудад перпендикуляр байх хавтгайн тэгшитгэл бич. Бодолт: Єгєгдсєн хоёр хавтгайн нормаль векторуудыг -ээр тэмдэглэвэл (1) томъёо ёсоор , болно. Хавтгайн єгєгдсєн хавтгайн нэг цэг М0 мэдэгдэж байгаа болохоор тїїний нормаль вектор - ийг олъё. Хавтгай нь єгєгдсєн хоёр хавтгайд перпендикуляр гэдгээс векторуудтай параллель байх ёстой. Иймээс -ын вектор їржвэр хавтгайд перпендикуляр байх тул тїїнийг нормаль вектор -ээр авч болно. болох учир олох хавтгайн тэгшитгэл буюу байна. Жишээ – 3 цэгийг дайрч Ох тэнхлэгийг a= - 3 , Оz тэнхлэгийг c=2 хэрчмээр огтлох хавтгайн тэгшитгэлийг бич. Бодолт: хавтгайн координатын хоёр тэнхлэгийг огтлох хэрчмийн хэмжээ єгєдсєн тул тїїний тэгшитгэлийг хэрчимт дїрс (2)-оор хайх нь хялбар юм. тэгшитгэлтэй хавтгай М0 цэгийг дайрах ёстой тул байна. Эндээс b=-12 болж олох хавтгайн тэгшитгэл буюу болно. Жишээ – 4 ; хавтгайнуудын хоорондох хурц єнцгийг ол. Бодолт: , Жишээ – 5 , шулуунууд -ийн ямар утгад a) параллель b) перпендикуляр байх вэ? Бодолт: a) b)

Математик

Лекц 7 Сэдэв: Хавтгайн аналитик геометрийн хялбар бодлогууд, хавтгай дээрх шулуун Хичээлийн зорилго: 1. Танин мэдэхүй: Энэ хичээлээр хоёр цэгийн хоорондох зай, гурвалжны талбай, параллель зөөлт, эргүүлэх хувиргалт, хавтгай дээрх шулууны ерөнхий, өнцгийн коэффициенттэй, эгэл, хэрчим дэх тэгшитгэл, цэгээс шулуун хүртэлх зай шулуунуудын багцын тэгшитгэл, хоёр цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэлийн томъёо, тодорхойлолтыг авч үзнэ. 2. Хүмүүжүүлэх: Суралцагчдын өмнөх мэдлэг чадварт нь тулгуурлан оюун ухааны хүмүүжил олгоно. 3. Хөгжүүлэх: Суралцагчдын ой тогтоолт, ойлгох, харьцуулах, жиших, сэтгэн бодох чадварыг хөгжүүлнэ. Хичээлийн хэрэглэгдэхүүн, холбогдох ном материал: 1. Ж.Баасандорж нар “Инженерийн математик-1” УБ 1999 он 2. Х.Гэндэнжамц, Л.Шагдар, Ү.Санжмятав “Дээд математик-1” УБ 1986 он 3. Ц.Лхамсүрэн, С.Намжилдорж “Дээд математикийн бодлого, дасгал” УБ 1998 Хавтгайн аналитик геометрийн хялбар бодлогууд хавтгай дээрх шулуун 1. , хоёр цэгийн хоорондох зай: Хавтгайн хоёр цэгийн хоорондох зай нь тэдгээрийн ижил нэртэй координатуудын ялгаврын квадратуудын нийлбэрээс квадрат язгуур гаргасантай тэнцүү. Хэрэв А цэг координатын эхтэй давхцаж байвал d нь В цэгээс координатын эх хүртэлх зай болно. 2. A, B цэгийг холбосон хэрчмийг харьцаанд хуваах M(x,y) цэгийн координат нь , Тухайн тохиолдолд буюу АВ хэрчмийг таллан хуваах M(x,y) цэгийн координат нь , 3. , , оройтой гурвалны талбай Хавтгайд нэг цэг авч туйл гэж нэрлээд түүнээсээ цацраг татаад туйлын тэнхлэг гэж нэрлэе. Цацраг дээр хэмжих нэгж оруулбал хаьтгайд нэг зүйлийн координат тогтох бөгөөд түүнийг туйлын координат гэнэ. Хавтгайн аливаа М цэгийг туйлтай холбоход үүсэх ОМ хэрчмийн уртыг М цэгийн 1-р координат – туйлын радиус буюу модуль гэнэ. Модулийг үсгээр тэмдэглэвэл энэ нь ямагт байна. Туйлын радиус, туйлын тэнхлэгтэй үүсгэсэн өнцгийн хэмжээг М цэгийн 2-р координат (туйлын өнцөг буюу аргумент) гэж нэрлэнэ. аргументийн утгыг Ох тэнхлэгээс цагийн зүүний хөдөлгөөний эсрэг тоолболэерэг байх ба дагуу тоолбол сөрөг байна. ( ) гэсэн хос тоог М цэгийн туйлын координатууд гэнэ. 4. Тэгш өнцөгт (x;y) координат нь ( ) туйлын координаттай , ба , томъёогоор холбогдоно. 5. Хавтгай дээрх шугам нь тэгш өнцөгт координатын системд f(x,y)=0 тэгшитгэлээр, туйлын координатын системд тэгшитгэлээр дүрслэгдэхээс гадна , хэлбэрийн параметрт тэгшитгэлээр өгөгдөж болно. 6. Координатын тэнхлэгийг параллелиар шилжүүлэх: Координатын тэнхлэгийн чиглэлийг өөрчлөхгүйгээр зөвхөн эхийг нь шилжүүлж хувиргах хувиргалтыг координатын параллель штлжүүлэг гэнэ. Паралель шилжүүлгээр Оху системийн эх О цэг цэгт шилжвэл аливаа М цэгийн хуучин координат (x,y) нь түүний шинэ координат - тэй дараах томъёогоор бодогдоно. ; ; 7. Координатын тэнхлэгийг эргүүлэх: Координатын эхийг шилжүүлэлгүйгээр 2 тэнхлэгийг нь нэг чиглэлд ижил өнцгөөр эргүүлж хувиргах хувиргалтыг координатын эргэлт гэнэ. буюу Хавтгай дээрх шулуун 1. Хавтгай дээрх шулууны ерөнхий тэгшитгэл нь Ax+By+C=0 хэлбэртэй байна. 2. Өнцгийн коэффициенттэй тэгшитгэл нь : y=kx+b 3. Хэрчим дэх тэгшитгэл: 4. Эгэл тэгшитгэл: 5. Өгөгдсөн , хоёр цэгийг дайрч гарсан шулууны тэгшитгэл нь 6. Өгөгдсөн цэгийг өгөгдсөн чиглэлд дайрч гарах шулууны тэгшитгэл нь 7. ба хоёр шулууны хоорондох өнцгийг : 8. Хоёр шулуун параллель байх нөхцөл нь: k1=k2 9. хоёр шулууны перпендикуляр байх нөхцөл нь: k1k2=-1 10. Өгөгдсөн цэгийг дайруулан төгсгөлгүй олон шулуун татаж болох бөгөөд тэдгээрийг шулуунуудын багц гэнэ. Багцын тэгшитгэл нь байна. к – дурын тогтмол тоо. Багцын төв болох цэг нь ба гэсэн хоёр шулууны огтлолцол гэж өгөгдвөл багцын тэгшитгэл нь байна. 11. цэгээс шулуун хүртэлх зайг Хэрэв шулуун Ax+By+C=0 ерөнхий тэгшитгэлээр өгөгдсөн бол зайг томъёогоор олно. 12. Хоёр шулууны огтлолцсон цэгийг тэгшитгэлийг системчлэн бодож олно. Жишээ – 1 Параллелограммын гурван орой A(-2;2) , B(2;4), C(6;1) гэж өгөдсөн бол дөрөв дэх орой болох D цэгийн координат, талуудын тэгшитгэл ба талбайг нь ол. Бодолт: Диагоналийн огтлолцлын цэгийг Е гэвэл тэр нь АС хэрчмийг таллан хуваана. E(2; 1.5). В ба Е цэгүүдийн координатыг мэдсэнээр D оройн координатыг D(2;-1) гэж олно. AB: , BC: , AD: , CD: буюу AB: 2y-x-6=0 , AD: 4y+3x-2=0 , BC: 4y+3x-22=0 , CD: 2y-x+4=0 Талбайг нь олохын тулд ВС хэрчмийн уртыг олъё. А цэгээс ВС шулуун хүртэлх зайгаар өндрийг олно. Эндээс Жишээ – 2 A(2;1) , B(-5;2) цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэлийг зохио. Бодолт: x1=2 , x2= -5 , y1=1, y2=2 –ийг - д орлуулбал буюу болно. Жишээ – 3 , шулууны хоорондох өнцгийг ол. Бодолт: , тул , болно. Жишээ – 4 , шулуунуудын хоорондох өнцгийг ол. Бодолт: A1=2 , B1=4 , A2=1 , B2=2 учир ёсоор , Жишээ – 5 Координатын эхээс шулуун хүртэлх зайг ол. Бодолт: Жишээ – 6 -ын A(4;0) орой, ВЕ өндрийн ба ВД медианы тэгшитгэлүүд BE: , BD: гэж өгсөн бол гурвалжны талуудын тэгшитгэлийг зохио. Бодолт: В оройн координатыг ВЕ ба ВD шулуунуудын огтлолцлоор олно. АС талын тэгшитгэлийг зохиоё. учир АС – ийн өнцгийн коэффициентийг олъё. буюу өнцгийн коэффициент ба нэг цэг нь өгөдсөнөөр АС талын тэгшитгэлийг томъёогоор олно. буюу цэгийн координатыг BD медиан ба АС талуудын огтолцлолоор олно. D: D нь АС хэрчмийг таллан хуваагч цэг учир С оройг C(8;-6) гэж олно. Одоо гурвалжны бүх оройн координат мэдэгдсэн учир хоёр цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэлийг томъёогоор олно. AN: буюу BC: буюу

Математик

Лекц 6 Сэдэв: Векторуудын скаляр, вектор, холимог үржвэр Хичээлийн зорилго: 1. Танин мэдэхүй: Энэ хичээлээр вектор гэж юу болох, вектор дээр хийх шугаман үйлдлүүдийг авч үзнэ. 2. Хүмүүжүүлэх: Суралцагчдын өмнөх мэдлэг чадварт нь тулгуурлан оюун ухааны хүмүүжил олгоно. 3. Хөгжүүлэх: Суралцагчдын ой тогтоолт, ойлгох, харьцуулах, жиших, сэтгэн бодох чадварыг хөгжүүлнэ. Хичээлийн хэрэглэгдэхүүн, холбогдох ном материал: 1. Ж.Баасандорж нар “Инженерийн математик-1” УБ 1999 он 2. Х.Гэндэнжамц, Л.Шагдар, Ү.Санжмятав “Дээд математик-1” УБ 1986 он 3. Ц.Лхамсүрэн, С.Намжилдорж “Дээд математикийн бодлого, дасгал” УБ 1998 Векторуудын скаляр, вектор, холимог үржвэр хоёр векторыг авч үзье. Тодорхойлолт – 1 Хоёр векторын модулийн үржвэрийг хоорондох өнцгийн косинусаар үржүүлэхэд гарах тоог уул хоёр векторын скаляр үржвэр гэж нэрлэнэ. Үүнд эдгээр векторуудын хоорондох өнцөг Жишээ – 1 , , бол векторуудын скаляр үржвэрийг ол. Бодолт: Координатаараа өгөгдсөн векторуудын скаляр үржвэр: Координатаараа өгөгдсөн хоёр векторыг скаляр үржүүлэхдээ харгалзах координатуудыг үржүүлж нэмнэ. Жишээ – 2 , бол - г ол. Скаляр үржвэр нь дараах чанартай байна. 1. 2. 3. 4. 5. Скаляр үржвэрийн томъёоноос хоёр векторын хоорондох өнцгийг олбол векторууд координатаараа өгөгдсөн бол Эндээс векторууд перпендикуляр байх нөхцөл нь байна. Жишээ – 3 , векторуудын хоорондох өнцгийг ол. Бодолт: Эндээс Хоёр векторын вектор үржвэр векторууд авч үзье. Дараах гурван нөхцөлөөр тодорхойлогдсон векторыг хоёр векторын вектор үржвэр гэнэ. Үүнд: 1. векторын модуль нь тоон утгаараа хоёроор байгуулсан параллелограммын талбайтай тэнцүү. 2. нь хоёр векторын хавтгайд перпендикуляр байх 3. - гаас руу эргэх бага эргэлтийг -ийн төгсгөлөөс харахад цагийн зүүний хөдөлгөөний эсрэг чиглэлтэй харагдах Вектор үржвэрийг буюу гэж тэмдэглэнэ. Вектор үржвэрийн чанарууд: 1. өөрөөр хэлбэл вектор үржвэрт үржигдэхүүн векторуудын байрыг солиход чиглэл нь эсрэг болно. 2. , - хоёрын хоорондох өнцөг 3. , m – тогтмол тоо 4. , коллинеар бол 5. вектор үржвэрт байр солих хууль хүчинтэй. Жишээ – 4 Хэрэв , бол ба векторуудын вектор үржвэрийг ол. Бодолт: Жишээ – 5 ба векторуудын вектор үржвэрийн модулийг ол. Бодолт: Векторуудын холимог үржвэр гурван векторээс зохиосон үржвэрийг, өөрөөр хэлбэл векторыг - ээр үржүүлсэн скаляр үржвэрийг уул гурван векторын холимог үржвэр гэнэ. Холимог үржвэр абсолют утгаараа уул гурван вектороор байгуулсан параллелопипедийн эзэлхүүнтэй тэнцэнэ. Үүний нь вектороор байгуулсан параллелограммын талбай, харин вектор вектортой үүсгэх өнцгийг гэвэл нь параллелопипедийн өндөр болно. Иймд Координатаар өгөгдсөн гурван векторын холимог үржвэр нь тэдгээрийн координатаас зохиосон гуравдугаар эрэмбийн тодорхойлогчтой тэнцүү. Гурван векторын компланар байх нөхцөл нь Холимог үржвэрийн хувьд байна. Жишээ – 1 , , гурван вектор өгчээ. үржвэрийг ол. Бодолт: Жишээ – 2 , , векторууд компланар эсэхийг тогтоо. Бодолт: учир компланар. Жишээ – 3 A(2;-1;-2) , B(1;2;1) , C(2;3;0) , D(5;0;6) цэгүүд нэг хавтгай дээр оршихыг батал. Бодолт: Хэрэв A,B,C,D цэгүүд нэг хавтгай дээр оршиж байвал AB, AC, AD векторууд мөн нэг хавтгай дээр байх тул компланар систем үүсгэнэ. Иймд тэдгээрээр байгуулагдсан параллелопипедийн эзлэхүүн 0-тэй тэнцэнэ. Өөрөөр хэлбэл AB, AC, AD векторуудын холимог үржвэр тэг байх болно. болох тул A,B,C,D цэгүүд нэг хавтгай дээр оршино. Талбай ба эзэлхүүн , векторуудыг авч үзье. Эдгээр векторуудыг параллелограммын талууд гэж үзэж болно. Параллелограммын талбай S=(суурь) (өндөр) тул буюу Үүнтэй төстэйгээр ба талтай гурвалжны талбайг олбол болно. Хэрэв векторууд нэг хавтгай дээр оршихгүй бол эдгээрээр ирмэгүүдээ хийсэн параллелопипедийн эзэлхүүн V=(суурийн талбай) (өндөр) Жишээ – 4 A(2;2;2) , B(1;3;5) , C(0;3;-1) цэгүүд дээр орой нь байх гурвалжны талбайг ол. Бодолт: Гурвалжны талуудыг , векторууд гэж үзвэл Давхар вектор үржвэр - ийг гурван векторын давхар вектор үржвэр гэнэ. Мөн гэж тодорхойлж болно. Давхар вектор үржвэр (1) (2) томъёогоор бодогдоно. (1), (2) томъёоноос харахад давхар вектор үржвэрт үржвэрийн эрэмбэ чухал. (1) томъёонд давхар вектор үржвэр вектортой компланар, (2) томъёонд давхар вектор үржвэр вектортой компланар байна.

Математик

Лекц 5 Сэдэв: Вектор, тїїн дээр хийх шугаман їйлдлїїд Хичээлийн зорилго: 1. Танин мэдэхїй: Энэ хичээлээр вектор гэж юу болох, вектор дээр хийх шугаман їйлдлїїдийг авч їзнэ. 2. Хїмїїжїїлэх: Суралцагчдын ємнєх мэдлэг чадварт нь тулгуурлан оюун ухааны хїмїїжил олгоно. 3. Хєгжїїлэх: Суралцагчдын ой тогтоолт, ойлгох, харьцуулах, жиших, сэтгэн бодох чадварыг хєгжїїлнэ. Хичээлийн хэрэглэгдэхїїн, холбогдох ном материал: 1. Ж.Баасандорж нар “Инженерийн математик-1” УБ 1999 он 2. Х.Гэндэнжамц, Л.Шагдар, Ї.Санжмятав “Дээд математик-1” УБ 1986 он 3. Ц.Лхамсїрэн, С.Намжилдорж “Дээд математикийн бодлого, дасгал” УБ 1998 Вектор, тїїн дээрх шугаман їйлдлїїд Хїч, хурдатгал, хурд зэрэг хэмжигдэхїїнїїд тоон утга болон чиглэлээрээ тодорхойлогддог. Ийм хэмжигдэхїїнийг вектор хэмжигдэхїїн гэнэ. Вектор хэмжигдэхїїн нь вектороор бїрэн тодорхойлогдоно. Чиглэлт хэрчмийг вектор гэнэ. Иймд вектор тодорхой урттай, нэгийг нь эхлэл нєгєєг нь тєгсгєл болгож авсан хэрчим байна. Хэрэв А эхлэл, В тєгсгєл бол векторыг гэж тэмдэглэдэг. Мєн гэх мэтчилэн тэмдэглэнэ. Векторын уртыг тїїний модуль гээд , гэж тэмдэглэнэ. Урт нь тэгтэй тэнцїї векторыг тэг вектор гээд 0 – ээр тэмдэглэнэ. Тэг вектор тодорхой чиглэлгїй. Хоёр векторын уртууд нь тэнцїї, чиглэл нь ижил байвал тэнцїї векторууд гэнэ. (Зур – 1 ) Тэгээс ялгаатай дурын вектор бїрийн хувьд модуль нь энэ векторын модультай тэнцїї, чиглэл нь эсрэг байх байх векторыг тэр векторын эсрэг вектор гэнэ. векторын эсрэг векторыг - гэж тэмдэглэнэ. Нэг шулуун дээр буюу параллель байх векторуудыг коллинеар векторууд гэнэ. Векторуудыг нэмэх, хасах, тоогоор їржїїлэх їйлдлїїдийг вектор дээрх шугаман їйлдэл гэж нэрлэнэ. Векторуудыг нэмэх, хасах Дурын хоёр векторыг авч їзье. О цэг авч энэ цэг дээр эхтэй , В цэгт эхтэй векторуудыг байгуулж, О – г С – тэй холбоход їїсэх векторыг энэ хоёр векторын нийлбэр вектор гэнэ. (Зур – 2 ) Энэ нийлбэр векторыг єєр аргаар гарган авч болно. Тухайлбал О цэгээс вектор, векторыг байгуулж эдгээр векторуудаар талаа хийсэн параллелограмм байгуулахад диагональ нь эдгээр векторуудын нийлбэр болно. Нийлбэр векторын хувьд байр солих хууль хїчинтэй. векторууд єгєгдсєн байг. Хасагч вектор дээр нэмэхэд хасагдагч вектор гарах векторыг эдгээрийн ялгавар вектор гэнэ. Векторыг тоогоор їржїїлэх - дурын вектор, бодит тоо байг. 1. 2. Хэрэв бол - тай ижил чиглэлтэй, бол - гийн эсрэг чиглэлтэ байх векторыг векторыг тоогоор їржїїлсэн їржвэр гэнэ. Энэ тодорхойлолтоос гэж їзэж болно. векторыг тоогоор їржїїлэх їйлдлийн тодорхойлолтоос їзвэл хоёр векторын коллинеар байх нєхцєл Вектор дээр хийх шугаман їйлдлийн хувьд дараах чанарууд хїчинтэй. 1. 2. 3. 4. 5. , 6. , 7. , 8. Урт нь нэгтэй тэнцїї векторыг нэгж вектор гэнэ. векторын хувьд урт нь нэгтэй тэнцїї - тай ижил чиглэлтэй векторыг - тай нэгж вектор буюу орт гээд гэж тэмдэглэе. Орт векторын хувьд дараах томъёо хїчинтэй. Векторуудын шугаман хамаарал, Суурь вектор Векторуудын харилцан байршлыг тогтоохын тулд тэдгээрийн хоорондын шугаман хамаарал гэсэн ойлголтыг оруулж ирдэг. Тодорхойлолт – 1 (1) тэнцэтгэл байхад биелэгдэж байвал векторуудыг шугаман хамааралгїй векторууд гэнэ. Хэрэв тоонуудын ядаж нэг нь тэгээс ялгаатай байхад (1) биелэгдэж байвал векторуудыг шугаман хамааралтай векторууд гэнэ. (1) тэнцэтгэлийн зїїн талд байгаа илэрхийллийг ьекторуудын шугаман эвлїїлэг гэнэ. Хэрэв єгєгдсєн векторууд шугаман хамааралтай байвал ядаж нэг векторыг нь нєгєє векторуудынх нь шугаман эвлїїлэгт бичиж болно. Теорем – 1 Хавтгай дээрх дурын гурван вектор шугаман хамааралтай байна. Тодорхойлолт – 2 нэг хавтгай дээр орших эсвэл нэг хавтгайтай параллель векторуудыг компланар векторууд гэнэ. Теорем – 2 Огторгуй дахь дурын дєрвєн вектор шугаман хамааралтай байна. Тодорхойлот – 3 Хавтгай дээрх шугаман хамааралгїй дурын векторыг хавтгайн суурь вектор гэнэ. Хэрэв векьторууд хавтгайн суурь векторууд бєгєєд дурын вектор бол теорем – 1 ёсоор эдгээр гурван вектор шугаман хамааралтай тул вектор суурь векторуудаар шугаман илэрхийлэгдэнэ. (2) Хэрэв хавтгайн дурын вектор (2) хэлбэрт бичигдэж байвал суурь векторуудаар задалж бичсэн задаргаа гэнэ. тоог векторын аффин координат гэнэ. гэж тэмдэглэнэ. Тодорхойлолт – 3 Огторгуй дахь шугаман хамааралгїй дурын гурван векторыг огторгуйн суурь вектор гэнэ. Хэрэв огторгуйн суурь векторууд бєгєєд дурын вектор бол теорем - 2 ёсоор (3) болно. тоог векторын аффин координат гэнэ. гэж тэмдэглэнэ. Векторын тэнхлэг дээрх проекц, тїїний чанар , хоёр вектор байг. Эдгээрийг нэг эхтэй болгоё. Нэг векторыг нєгєє вектортой давхцтал нь эргїїлэхэд їїсэх хамгийн бага эргэлтийн єнцгийг энэ хоёр векторын хоорондох єнцєг гэнэ. Уг єнцгийг гэвэл болно. (Зураг – 1) Огторгуйд дурын байрлалтай байх тэнхлэг векторыг авч їзье. А ба В цэгийн тэнхлэг дээрх проекцийг гэе. Тодорхойлолт – 1 хэрчмийн уртыг нэмэх, хасах тэмдэгтэйгээр авсаныг тэнхлэг дээрх - ийн проекц гэнэ. Їїнийг гэж тэмдэглэе. Хэрэв - ийн чиглэл -ийн чиглэлтэй давхцаж байвал проекц эерэг, -ийн чиглэл -ийн эсрэг бол проекц сєрєг байна. Энэ тодорхойлолтоос їзвэл Энд нь тэнхлэг векторын хоорондох єнцєг. Проекцийн хувьд дараах чанарууд хїчинтэй. 1. 2. нь координатын тэнхлэгїїдтэй харгалзан ижил чиглэлтэй, нэгж урттай векторууд байг. Дурын векторыг координатын сууриар задлан бичвэл болно. x,y,z коэффициентїїдийг векторын суурь дахь координат гэх ба эдгээр нь координатын тэнхлэгїїд дээрх проекцууд юм. Тэдгээрийг векторын тэгш єнцєгт координатууд гэнэ. вектор нь координатын тэнхлэгїїд - тэй харгалзан єнцєг їїсгэдэг бол чиглїїлэгч косинусуудыг олох томъёо нь - г - ийн чиглїїлэгч косинусууд гэнэ. Хоёр вектор коллинеар байх нєхцлийг координатуудаараа єгєдсєн векторуудын хувьд авч їзье. ; байг. гэсэн коллинеар байх нєхцлєєс ; ; Эндээс болно. Координатаараа єгєгдсєн векторууд дээрх шугаман їйлдлїїд нь тэдгээрийн координат дээрх їйлдлїїдэд шилжинэ. ба , єгєгдсєн байг. 1. 2. 3. байвал байна. 4. 5. ба цэгїїд координатаараа єгєгдсєн байг. Тэгвэл 6. Хоёр цэгийн хоорондох зайг томъёогоор тодорхойлно. 7. Хэрчмийг єгєгдсєн харьцаанд хуваах цэгийн координатыг олох томъёо нь ; ; 8. Хэрчмийг таллан хуваах цэгийн координатыг олох томъёо нь ; ; Жишээ – 1 ба цэгїїд єгєгджээ. хэрчмийг харьцаагаар хуваах М цэгийн координатыг ол. Бодолт: болно. M(-1;4;1) Жишээ – 2 , , бол Бодолт: томъёог ашиглавал Жишээ – 3 M(5; - 3;4) цэгийн радиус векторын чиглїїлэгч косинусуудыг ол. Бодолт: Координатын эхээс эхлэлтэй вектор їїсгэе. Чиглїїлэгч косинусуудыг олох томъёо ёсоор , , болно. Жишээ – 4 ба векторуудын нийлбэр ба ялгаварын модулийг ол. Бодолт: , тул

Математик

Лекц 4 Сэдэв: Шугаман тэгшитгэлийн системийг бодох зайлуулах арга, Матрицын хувийн утгын бодлого Хичээлийн зорилго: 1. Танин мэдэхүй: Энэ хичээлээр шугаман тэгшитгэлийн системийг зайлуулах аргаар бодох бодлогууд болон хувийн утгын бодлогуудыг авч үзнэ. 2. Хүмүүжүүлэх: Суралцагчдын өмнөх мэдлэг чадварт нь тулгуурлан оюун ухааны хүмүүжил олгоно. 3. Хөгжүүлэх: Суралцагчдын ой тогтоолт, ойлгох, харьцуулах, жиших, сэтгэн бодох чадварыг хөгжүүлнэ. Хичээлийн хэрэглэгдэхүүн, холбогдох ном материал: 1. Ж.Баасандорж нар “Инженерийн математик-1” УБ 1999 он 2. Х.Гэндэнжамц, Л.Шагдар, Ү.Санжмятав “Дээд математик-1” УБ 1986 он 3. Ц.Лхамсүрэн, С.Намжилдорж “Дээд математикийн бодлого, дасгал” УБ 1998 Шугаман тэгшитгэлийн системийг бодох зайлуулах арга Матрицын хувийн утгын бодлого (1) Шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын буюу зайлуулах аргаар бодохдоо системийн өргөтгөсөн матрицыг шаталсан эсвэл эмхтгэсэн шаталсан мөр хэлбэрт шилжүүлэх хувиргалтыг хийнэ. Өргөтгөсөн матрицын зөвхөн мөрүүд дээр 1. Матрицын аль нэг мөрийг тэгээс өөр тогтмол тоогоор үржүүлэх 2. Матрицын мөрийн байруудыг солих 3. Матрицын аль нэг мөрийг өөр мөрийг тогтмол тоогоор үржүүлээд уг мөр дээр нэмсэн мөрөөр солих гэсэн хувиргалтуудыг хийж шаталсан ба эмхтгэсэн шаталсан хэлбэрт хувиргана. Ингэж хувиргасан өргөтгөсөн матрицуудад харгалзах шугаман тэгшитгэлийн системүүд эквивалент байна. (нийцтэй эсэх нь адилхан, нийцтэй бол шийд нь адил) Энэ аргаар ямар ч системийг нийцтэй эсэхийг тогтоох болон шийдийг олж болно. Хувиргалтын явцад хэлбэрийн мөр гарч ирвэл систем нийцгүй байна. Тодорхойлолт – 1 Дараах нөхцлүүдийг хангах матрицыг шаталсан мөр хэлбэрт байгаа матриц гэнэ. • Тэг биш мөрийн эхний тэг биш элемент 1 байна. • Дараалсан тэг биш мөрүүдийн доод мөрөн дахь эхний 1 нь дээд мөрийн баруун талд байна. • Бүх элементүүд тэг байх мөрүүд матрицын сүүлийн мөрүүдэд байна. Гауссын аргаар бодоход мөр дээрх хувиргалтуудыг өргөтгөсөн матриц эмхтгэсэн шаталсан мөр хэлбэрт ортол хэрэглэнэ. Тодорхойлолт – 2 Дараах нөхцлүүдийг хангах матрицыг эмхтгэсэн шаталсан мөр хэлбэрт байгаа матриц гэнэ. • Матриц шаталсан мөр хэлбэрт байна. • Мөр бүрт байгаа тэгээс ялгаатай эхний элемент байгаа баганыхаа ганц тэгээс ялгаатай элемент байна. 1. Матрицын i – р мөрийг С ( ) тогтмол тоогоор үржүүлэх хувиргалтыг 2. Матрицын i ба j – р мөрүүдийн байрыг солих үйлдлийг 3. j – р мөрийг С тоогоор үржүүлж i – р мөр дээр нэмэх үйлдлийг гэж тус тус тэмдэглэе. Жишээ – 1 системийг Гауссын аргаар бод. Бодолт: Гауссын аргаар өргөтгөсөн матрицыг шаталсан мөр хэлбэрт шилжүүлье. Сүүлийн матрицад дараах систем харгалзана. Жишээ – 2 системийг бод. Бодолт: Сүүлийн мөр тул систем нийцгүй. Жишээ – 3 системийг бод. Бодолт: Эндээс Энэ системээс гэвэл болж дурын t бодит тооны хувьд систем төгсгөлгүй олон шийдтэй болно. Шугаман тэгшитгэлийн системийн нийцтэйг тогтоох шинжүүр систем авч үзье. А матрицыг үндсэн матриц, В матрицыг өргөтгөсөн матриу гэж нэрлэе. Теорем. Нэгэн төрлийн биш (1) систем шийдтэй байх гарцаагүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь үндсэн матрицын ранг өргөтгөсөн матрицын рангтай тэнцүү байх явдал юм. Матрицын хувийн утгын бодлого Тодорхойлолт – 1 А нь n – р эрэмбийн матриц байг. Хэрэв (1) гэсэн шугаман тэгшитгэлийн систем тэгээс ялгаатай гэсэн шийдтэй байх бодит тоо олдож байвал энэ тоог А матрицын хувийн утга, Х векторыг энэ хувийн утгад харгалзах хувийн вектор гэнэ. (1) тэгшитгэлийг матриц алгебрийн чанар ашиглан дараах хэлбэрт бичье. (2) хэлбэрт бичье. Энд Е нь нэгж матриц. байг. Тэгвэл (2) нь дараах хэлбэрт бичигдэнэ. (2) хэлбэртэй болно. Энэ тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн тэгшитгэлүүдийн систем тул (2) тэгшитгэл нь (4) байхад тэгээс ялгаатай шийдтэй байх ёстой. (4) тэгшитгэл нь -ийн хувьд n зэргийн тэгшитгэл байна. (4) тэгшитгэлийг А матрицын характеристик тэгшитгэл гэнэ. Иймээс А матрицын хувийн утгууд нь(4) характеристик тэгшитгэлийн язгуурууд байна. А матрицын хувийн утга ба хувийн векторыг олохдоо эхлээд (3) гэсэн характеристик тэгшитгэлийн бодит хувийн утгыг олж түүнийгээ (2)-д орлуулан бодож харгалзах хувийн утгуудыг олно. Жишээ – 4 матрицын хувийн утга, хувийн векторыг ол. Бодолт: ; . Энд хоёр хувийн утга давхцаж байна. үед систем нь системд шилжинэ. Эндээс , гэж авбал ганц хувийн вектор олдоно. Жишээ – 5 матрицын хувийн утга, хувийн векторыг ол. Бодолт: Характеристик тэгшитгэл нь болно. Энэ нь хэлбэртэй болох ба , , гэсэн шийдүүдтэй. хувийн утгын хувьд (2) системийг бичвэл болох ба шийд нь ямар ч t бодит тооны хувьд , , байна. Иймд хувийн утгад хувийн векторууд харгалзана. үед (2) системийг бичиж хувийн утгыг олбол , гэвэл үед , буюу хувийн вектор нь

Математик

Лекц 3 Сэдэв: Шугаман тэгшитгэлийн системийг бодох Крамерийн дїрэм, Урвуу матрицын арга Хичээлийн зорилго: 1. Танин мэдэхїй: Энэ хичээлээр шугаман тэгшитгэлийн системийн тухай, ш.т.с-ийг бодох Крамерийн дїрэм, урвуу матрицын аргыг авч їзнэ. 2. Хїмїїжїїлэх: Суралцагчдын ємнєх мэдлэг чадварт нь тулгуурлан оюун ухааны хїмїїжил олгоно. 3. Хєгжїїлэх: Суралцагчдын ой тогтоолт, ойлгох, харьцуулах, жиших, сэтгэн бодох чадварыг хєгжїїлнэ. Хичээлийн хэрэглэгдэхїїн, холбогдох ном материал: 1. Ж.Баасандорж нар “Инженерийн математик-1” УБ 1999 он 2. Х.Гэндэнжамц, Л.Шагдар, Ї.Санжмятав “Дээд математик-1” УБ 1986 он 3. Ц.Лхамсїрэн, С.Намжилдорж “Дээд математикийн бодлого, дасгал” УБ 1998 Шугаман тэгшитгэлийн систем Тодорхойлолт – 1 (1) системийг хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн систем гэнэ. Їїнд , -їїд бодит тоонууд бєгєєд -їїдийг системийн коэффициентїїд, -г сул гишїїд гэнэ. ( ) элементїїдтэй А матрицыг (1)-ийн їндсэн матриц гэнэ. Їндсэн матрицад сул гишїїний баганыг нэмэхэд гарах матрицыг (1)-ийн єргєтгєсєн матриц гэнэ. Тодорхойлолт – 2 гэсэн тодорхой эрэмбэлэгдсэн тоонуудыг (1)-д орлуулахад тэгшитгэл бїрийг адилтгал болгож байвал эдгээрийг системийн шийд гэнэ. Тодорхойлолт – 3 Хэрэв (1) ядаж нэг шийдтэй бол нийцтэй, шийдгїй бол нийцгїй систем гэнэ. Нийцтэй систем цор ганц шийдтэй бол тодорхой, тєгсгєлгїй олон шийдтэй бол тодорхойгїй гэнэ. Тодорхойлолт – 4 Хэрэв (1) – ийн сул гишїїд бїгд тэг байвал нэгэн тєрлийн систем, ядаж нэг тэгээс ялгаатай байвал нэгэн тєрлийн биш систем гэнэ. Нэгэн тєрлийн систем ямагт гэсэн тэг шийдтэй байна. Їїнийг илэрхий шийд гэнэ. Нэгэн тєрлийн систем дараах хэлбэртэй байна. нь (2) системийг хангах тул нэгэн тєрлийн систем їргэлж нийцтэй систем байна. - їїд нь 0-ээс тогтсон баганатай тул байна. Хэрвээ бол Крамерийн дїрмээр ( ) тул (2) систем нь (0,0,…,0) гэсэн ганц шийдтэй байна. тул їед (2) систем нь тоо томшгїй олон шийдтэй. Ш.Т.С – ийг бодох Крамерийн дїрэм Хэрэв (1) - ийн хувьд А нь хэмжээтэй бєгєєд бол систем тодорхой байх ба шийд нь , ,…, томъёогоор бодогдоно. Їїнд нь А матрицын к – р баганыг сул гишїїдийн баганаар солиход гарсан матриц Жишээ – 1. системийг Крамерийн дїрмээр бод. Бодолт. гэдгээс єгєгдсєн систем тодорхой болох тул Крамерийн дїрмээр бодъё. , (95,110) шийдтэй. Жишээ – 2. системийг бод. Бодолт: тул систем гэсэн тоо томшгїй олон шийдтэй. Жишээ – 3. системийг бод. Бодолт: тул дээрх систем Эндээс систем нь гэсэн ганц шийдтэй. Ш.Т.С – ийг Урвуу матрицын аргаар бодох (3.1) шугаман тэгшитгэлийн системийг матрицуудыг ашиглаж (3.2) гэсэн матрицан хэлбэртэй бичиж болно. Хэрэв системд бол А нь квадрат матриц болох бєгєєд бол (3.2) тэгшитгэлийн хоёр талыг зїїнээс нь А-1 – ээр їржїїлж Х – г олж болно. Теорем – 1 AX=0 гэсэн n їл мэдэгдэхтэй нэгэн тєрлийн шугаман тэгшитгэлїїдийн систем илэрхий шийдтэй байх зайлшгїй бєгєєд хїрэлцээтэй нєхцєл нь А бєхєєгїй (тодорхойлогч нь 0-ээс ялгаатай) матриц байна. Теорем – 2 AX=0 гэсэн n їл мэдэгдэгчтэй n тэгшитгэлийн систем илэрхий биш шийдтэй байх зайлшгїй бєгєєд хїрэлцээтэй нєхцєл нь А бєхсєн (тодорхойлогч нь 0-тэй тэнцїї) матриц байна. Жишээ – 4 системийг урвуу матрицын аргаар бод. Бодолт: гэсэн хэлбэрт бичиж болно. тул коэффициентїїдийн матриц урвуутай байна. Эндээс , Жишээ – 5 -ийг урвуу матрицын аргаар бод. Бодолт: тул тодорхой болох ба шийдийг урвуу матрицын аргаар олъё.

Математик

Лекц 2 Сэдэв: Тодорхойлогч, түүний чанарууд, Урвуу матриц Хичээлийн зорилго: 1. Танин мэдэхүй: Энэ хичээлээр тодорхойлогч, түүний чанарууд, урвуу матрицыг хэрхэн бодох тухай авч үзнэ. 2. Хүмүүжүүлэх: Суралцагчдын өмнөх мэдлэг чадварт нь тулгуурлан оюун ухааны хүмүүжил олгоно. 3. Хөгжүүлэх: Суралцагчдын ой тогтоолт, ойлгох, харьцуулах, жиших, сэтгэн бодох чадварыг хөгжүүлнэ. Хичээлийн хэрэглэгдэхүүн, холбогдох ном материал: 1. Ж.Баасандорж нар “Инженерийн математик-1” УБ 1999 он 2. Х.Гэндэнжамц, Л.Шагдар, Ү.Санжмятав “Дээд математик-1” УБ 1986 он 3. Ц.Лхамсүрэн, С.Намжилдорж “Дээд математикийн бодлого, дасгал” УБ 1998 Тодорхойлогч, түүний чанарууд Тодорхойлолт – 1 А квадрат матрицад тодорхой дүрмээр тоо харгалзуулж, түүнийг уг матрицын тодорхойлогч гээд гэж тэмдэглэдэг. хэмжээст тодорхойлогчийг эрэмбийн тодорхойлогч гэнэ. Хоёрдугаар эрэмбийн тодорхойлогчийг томъёогоор бодно. Жишээ – 1 - г бод. Бодолт. Гуравдугаар эрэмбийн тодорхойлогчийг Саррюссийн дүрэм буюу дүрмээр бодох нь хялбар байдаг. Энэ дүрмийг схемээр харуулбал Жишээ – 2 - г бод. Бодолт. А, В квадрат матрицуудын хувьд 1. 2. байна. Минор ба алгебрийн гүйцээлт Тодорхойлолт – 2 -р эрэмбийн тодорхойлогчийн -р мөр -р баганыг хасахад гарах -р эрэмбийн тодорхойлогчийг элементэд харгалзах минор гээд гэж тэмдэглэнэ. Жишээ – 3 тодорхойлогчийн -ийг ол. Бодолт. Санамж. Квадрат матрицын тодорхойлогч нь түүний аль нэг мөрийн (баганын) элемент бүрийг харгалзах алгебрийн гүйцээлтээр нь үржүүлсэн үржвэрүүдийг нэмсэн нийлбэртэй тэнцүү. Жишээ – 4 матрицын тодорхойлогчийг алгебрийн гүйцээлт ашиглан бод. Бодолт. Тодорхойлогчийг хамгийн олон 0 агуулсан мөр юмуу баганаар нь задлаж бодох нь хялбар байдаг тул 3-р мөрийг сонгоё. Тодорхойлогчийн чанарууд 1. Хэрэв квадрат матрицын дурын хоёр мөр (багана) ижил байвал тодорхойлогч тэгтэй тэнцүү. 2. Хэрэв квадрат матрицын аль нэг мөрийн (баганын) бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү бол тодорхойлогч нь тэг байна. 3. Хэрэв В матриц А квадрат матрицын дурын хоёр мөрийн (баганын) байрыг солиход гарсан матриц бол тодорхойлогч нь байна. 4. Хэрэв В матриц А квадрат матрицын ямар нэг мөрийн (баганын) бүх элементүүдийг тэгээс ялгаатай к тоогоор үржүүлэхэд гарсан матриц бол тодорхойлогч нь байна. 5. Квадрат матрицын аль нэг мөрийн (баганын) элементүүдийг тэгээс ялгаатай тоогоор үржүүлж нөгөө мөрийн (баганын) харгалзах элементүүд дээр нэмэхэд тодорхойлогч өөрчлөгдөхгүй. 6. Хэрэв квадрат матрицын хоёр мөрийн (баганын) бүх элементүүд пропорциональ бол тодорхойлогч нь тэг байна. 7. Квадрат матрицын аль нэг мөрийн (баганын) элементүүдийг өөр мөрийн (баганын) харгалзах элементүүдийн алгебрийн гүйцээлтүүдээр үржүүлж нэмсэн нийлбэр тэг байна. Мөн гурвалжин хэлбэртэй матрицын тодорхойлогч нь гол диагоналийн элементүүдийн үржвэртэй тэнцүү байна. Харин квадрат матрицын хувьд хажуу диагоналийн аль нэг талын элементүүд бүгд тэг бол тодорхойлогч нь хажуу диагональ дээрх тоонуудын үржвэрийг -оор үржүүлсэнтэй тэнцүү байдаг. Жишээ – 5 тодорхойлогчийн чанарыг ашиглан бод. Бодолт. 5-р чанарыг ашиглан тодорхойлогчийг гурвалжин хэлбэрт шилжүүлье. Үүнд 1. Б3+2Б1 2. Б3-4Б2 Урвуу матриц -р эрэмбийн квадрат матриц өгөгдөв гэе. Хэрэв тэнцэтгэл биелэгдэж байвал –ыг –ийн урвуу матриц гэнэ. Энд дугаар эрэмбийн нэгж матриц. Үл бөхөх буюу байх матриц болгон урвуу матрицтай байх бөгөөд тэр нь зөвхөн ганц байна. Үүний нь А матрицын элементүүдийн харгалзах алгебрийн гүйцээлтүүдээс зохиож хөрвүүлэгдсэн матриц юм. Үл бөхөх матрицын хувьд: 1. 2. 3. 4. байна. Жишээ - 6 матрицын урвуу матрицыг ол. Бодолт: , матрицын –нуудыг олье. Иймээс , Урвуу матрицыг олох өөр нэг аргатай танилцая. Матрицын энгийн хувиргалтуудад: 1. мөрүүдийг /баганыг/ солих 2. мөрийг /баганыг/ тэгээс ялгаатай тоогоор үржүүлэх 3. Аль нэг мөрийн /баганын/ элементүүдийг ямар нэг тоогоор үржүүлж өөр нэг мөр багана дээр нэмэх үйлдлүүд орно. Хэрэв дугаар эрэмбийн А матриц өгөгдсөн бол түүний урвуу матрицыг олохын тулд эхлээд A матрицын баруун гарт дугаар эрэмбийн нэгж матрицыг залган бичиж хэмжээтэй матрицыг байгуулна. Дараа нь түүний мөрүүд дээр дурьдсан үйлдлүүдийг гүйцэтгэж матрицыг хэлбэртэй болгоно. Тэгвэл байна. Жишээ - 7. бол –г ол. Энд матрицын мөрүүд дээр дараах үйлдлүүдийг гүйцэтгэв. Үүнд: 1. нэгдүгээр мөрийг –оор үржүүлж хоёрдугаар мөр дээр мөн нэгдүгээр мөрийг –ээр үржүүлж гуравдугаар мөр дээр тус тус нэмэв. 2. хоёрдугаар мөрийг –ээр үржүүлж гуравдугаар мөр дээр нэмэв. 3. хоёрдугаар мөрийг 2-оор үржүүлж нэгдүгээр мөр дээр нэмэв. 4. хоёрдугаар мөрийг нэгдүгээр мөр дээр нэмэв. 5. гуравдугаар мөрийг нэгдүгээр мөр дээр нэмэв. 6. гуравдугаар мөрийг –ээр үржүүлж хоёрдугаар мөрүүдийг харгалзуулан –ээр үржүүлэв.

Математик

Лекц 1 Сэдэв: Матриц, түүн дээрх үйлдлүүд, матрицын ранг Хичээлийн зорилго: 1. Танин мэдэхүй: Энэ хичээлээр матриц, түүн дээрх үйлдлүүд, матрицын ранг гэж юу болох, хэрхэн бодох талаар авч үзнэ. 2. Хүмүүжүүлэх: Суралцагчдын өмнөх мэдлэг чадварт нь тулгуурлан оюун ухааны хүмүүжил олгоно. 3. Хөгжүүлэх: Суралцагчдын ой тогтоолт, ойлгох, харьцуулах, жиших, сэтгэн бодох чадварыг хөгжүүлнэ. Хичээлийн хэрэглэгдэхүүн, холбогдох ном материал: 1. Ж.Баасандорж нар “Инженерийн математик-1” УБ 1999 он 2. Х.Гэндэнжамц, Л.Шагдар, Ү.Санжмятав “Дээд математик-1” УБ 1986 он 3. Ц.Лхамсүрэн, С.Намжилдорж “Дээд математикийн бодлого, дасгал” УБ 1998 он Матриц, түүн дээрх үйлдлүүд Тодорхойлолт – 1 m мөр n багана бүхий таблиц хэлбэрээр байрлуулагдсан тоог хэмжээст матриц гээд гэж тэмдэглэдэг. Матрицид бичсэн тоонуудыг матрицын элемент гэнэ. Матрицын -р мөр -р баганад байрлах элементийг гэж тэмдэглэдэг. Тодорхойлолт – 2 Хэрэв мөр баганын тоо ялгаатай ө.х бол тэгш өнцөгт матриц, харин мөр баганын тоо тэнцүү буюу бол квадрат матриц буюу эрэмбийн матриц гэнэ. Квадрат матрицад элементүүд гол диагональ үүсгэнэ. Тодорхойлолт – 3 А матрицын хувьд мөр ба баганын тоо ялгаатай ( ) байхад байвал А матрицыг диагональ матриц гэнэ. Тодорхойлолт – 4 байх диагональ матрицыг скаляр матриц гэнэ. Тодорхойлолт – 5 байх скаляр матрицыг нэгж матриц гээд Е – ээр тэмдэглэдэг. Тодорхойлолт – 6 Хэрэв квадрат матрицын гол диагоналийн дээд (доод) талд байрлах бүх элемент тэг бол доод (дээд) гурвалжин матриц гэнэ. Жишээ нь - доод гурвалжин матриц хэмжээстэй матрицыг баганан матриц, харин хэмжээст матрицыг мөрөн матриц гэнэ. - баганан матриц, - мөрөн матриц хэмжээст А ба В матрицын , бүрийн хувьд байвал тэнцүү матрицууд гэнэ. Тодорхойлолт – 7 Бүх элементүүд нь тэгтэй тэнцүү матрицыг тэг матриц гээд 0-ээр тэмдэглэдэг. Жишээ нь Тодорхойлолт – 8 Дараах матрицыг трапец хэлбэрийн матриц гэнэ. Матриц дээрх үйлдлүүд 1. Матрицуудыг нэмэх Хэрэв А ба В нь хэмжээст матриц бол А+В нь ( , ) элементүүдтэй С матриц байна. Жишээ – 1 2. Матрицыг тоогоор үржүүлэх Хэрэв бодит тоо бол А матрицыг -аар үржүүлсэн үржвэр байна. Жишээ – 2 3. Матрицуудыг үржүүлэх А нь мөртэй к баганатай, В нь к мөртэй баганатай матриц байг. ( ) элементүүдтэй байх С матрицыг үржвэр матриц гэнэ. Жишээ – 3 Матрицуудыг үржүүлэх үйлдлийн хувьд байдаг. Тодорхойлолт – 9 Хэрэв байвал А, В матрицуудыг сэлгэх (коммутатив) матрицууд гэнэ. Жишээ – 4 , бол Матрицуудыг үржүүлэх үйлдлийн хувьд дараах чанарууд хүчинтэй. 1. 2. 3. 4. , - бодит тоо 4.Матрицыг хөрвүүлэх матрицыг хөрвүүлсэн матриц нь хэмжээст матриц байна. Жишээ – 5 матрицыг хөрвүүл. Бодолт. байна. Матрицыг хөрвүүлэх үйлдлийн хувьд дараах чанарууд хүчинтэй. 1. 2. 3. 4. , - бодит тоо Хэрэв квадрат матриц А – ийн хувьд байвал тэгш хэмтэй матриц гэнэ. Матрицын ранг Тодорхойлолт – 10 А матрицын тэгээс ялгаатай мөрүүдийн тоог матрицын ранг гээд гэж тэмдэглэдэг. Дараах үйлдлийг матриц дээрх энгийн хувиргалт буюу элементар хувиргалт гэнэ. 1. Матрицын аль нэг мөрийн (баганын) бүх элементүүдийг тэгээс ялгаатай элементээр үржүүлэх 2. Матрицын дурын хоёр мөрийн (баганын) байрыг солих 3. Матрицын нэг мөрийн (баганын) бүх элементүүдийг тэгээс ялгаатай тоогоор үржүүлж өөр мөрийн (баганын) харгалзах элемент дээр нэмэх 4. Матрицыг хөрвүүлэх Трапец хэлбэрийн матрицын ранг тэгээс ялгаатай мөрийн тоотой тэнцүү байдаг. Матрицад энгийн хувиргалт хийхэд ранг нь өөрчлөгдөхгүй. Иймд матрицыг энгийн хувиргалтаар трапец хэлбэрт шилжүүлж рангийг олж болдог. Жишээ – 6 матрицын рангийг ол. Бодолт 1-р мөрийг - 2 - оор үржүүлж 2-р мөр дээр, 1-р мөрийг -3 – аар үржүүлж 3-р мөр дээр тус тус нэмэв. Уг матрицын ранг нь тэгээс ялгаатай мөрүүдийн тоотой тэнцүү буюу байна. Жишээ – 7 -ын рангийг ол. Бодолт: 1. 1-р мөрийг – 2-оор үржүүлж 2-р мөр дээр нэмэв. 2. 1-р мөрийг – 3 –аар үржүүлж 3-р мөр дээр нэмэв.