Математик

Лекц 6 Сэдэв: Векторуудын скаляр, вектор, холимог үржвэр Хичээлийн зорилго: 1. Танин мэдэхүй: Энэ хичээлээр вектор гэж юу болох, вектор дээр хийх шугаман үйлдлүүдийг авч үзнэ. 2. Хүмүүжүүлэх: Суралцагчдын өмнөх мэдлэг чадварт нь тулгуурлан оюун ухааны хүмүүжил олгоно. 3. Хөгжүүлэх: Суралцагчдын ой тогтоолт, ойлгох, харьцуулах, жиших, сэтгэн бодох чадварыг хөгжүүлнэ. Хичээлийн хэрэглэгдэхүүн, холбогдох ном материал: 1. Ж.Баасандорж нар “Инженерийн математик-1” УБ 1999 он 2. Х.Гэндэнжамц, Л.Шагдар, Ү.Санжмятав “Дээд математик-1” УБ 1986 он 3. Ц.Лхамсүрэн, С.Намжилдорж “Дээд математикийн бодлого, дасгал” УБ 1998 Векторуудын скаляр, вектор, холимог үржвэр хоёр векторыг авч үзье. Тодорхойлолт – 1 Хоёр векторын модулийн үржвэрийг хоорондох өнцгийн косинусаар үржүүлэхэд гарах тоог уул хоёр векторын скаляр үржвэр гэж нэрлэнэ. Үүнд эдгээр векторуудын хоорондох өнцөг Жишээ – 1 , , бол векторуудын скаляр үржвэрийг ол. Бодолт: Координатаараа өгөгдсөн векторуудын скаляр үржвэр: Координатаараа өгөгдсөн хоёр векторыг скаляр үржүүлэхдээ харгалзах координатуудыг үржүүлж нэмнэ. Жишээ – 2 , бол - г ол. Скаляр үржвэр нь дараах чанартай байна. 1. 2. 3. 4. 5. Скаляр үржвэрийн томъёоноос хоёр векторын хоорондох өнцгийг олбол векторууд координатаараа өгөгдсөн бол Эндээс векторууд перпендикуляр байх нөхцөл нь байна. Жишээ – 3 , векторуудын хоорондох өнцгийг ол. Бодолт: Эндээс Хоёр векторын вектор үржвэр векторууд авч үзье. Дараах гурван нөхцөлөөр тодорхойлогдсон векторыг хоёр векторын вектор үржвэр гэнэ. Үүнд: 1. векторын модуль нь тоон утгаараа хоёроор байгуулсан параллелограммын талбайтай тэнцүү. 2. нь хоёр векторын хавтгайд перпендикуляр байх 3. - гаас руу эргэх бага эргэлтийг -ийн төгсгөлөөс харахад цагийн зүүний хөдөлгөөний эсрэг чиглэлтэй харагдах Вектор үржвэрийг буюу гэж тэмдэглэнэ. Вектор үржвэрийн чанарууд: 1. өөрөөр хэлбэл вектор үржвэрт үржигдэхүүн векторуудын байрыг солиход чиглэл нь эсрэг болно. 2. , - хоёрын хоорондох өнцөг 3. , m – тогтмол тоо 4. , коллинеар бол 5. вектор үржвэрт байр солих хууль хүчинтэй. Жишээ – 4 Хэрэв , бол ба векторуудын вектор үржвэрийг ол. Бодолт: Жишээ – 5 ба векторуудын вектор үржвэрийн модулийг ол. Бодолт: Векторуудын холимог үржвэр гурван векторээс зохиосон үржвэрийг, өөрөөр хэлбэл векторыг - ээр үржүүлсэн скаляр үржвэрийг уул гурван векторын холимог үржвэр гэнэ. Холимог үржвэр абсолют утгаараа уул гурван вектороор байгуулсан параллелопипедийн эзэлхүүнтэй тэнцэнэ. Үүний нь вектороор байгуулсан параллелограммын талбай, харин вектор вектортой үүсгэх өнцгийг гэвэл нь параллелопипедийн өндөр болно. Иймд Координатаар өгөгдсөн гурван векторын холимог үржвэр нь тэдгээрийн координатаас зохиосон гуравдугаар эрэмбийн тодорхойлогчтой тэнцүү. Гурван векторын компланар байх нөхцөл нь Холимог үржвэрийн хувьд байна. Жишээ – 1 , , гурван вектор өгчээ. үржвэрийг ол. Бодолт: Жишээ – 2 , , векторууд компланар эсэхийг тогтоо. Бодолт: учир компланар. Жишээ – 3 A(2;-1;-2) , B(1;2;1) , C(2;3;0) , D(5;0;6) цэгүүд нэг хавтгай дээр оршихыг батал. Бодолт: Хэрэв A,B,C,D цэгүүд нэг хавтгай дээр оршиж байвал AB, AC, AD векторууд мөн нэг хавтгай дээр байх тул компланар систем үүсгэнэ. Иймд тэдгээрээр байгуулагдсан параллелопипедийн эзлэхүүн 0-тэй тэнцэнэ. Өөрөөр хэлбэл AB, AC, AD векторуудын холимог үржвэр тэг байх болно. болох тул A,B,C,D цэгүүд нэг хавтгай дээр оршино. Талбай ба эзэлхүүн , векторуудыг авч үзье. Эдгээр векторуудыг параллелограммын талууд гэж үзэж болно. Параллелограммын талбай S=(суурь) (өндөр) тул буюу Үүнтэй төстэйгээр ба талтай гурвалжны талбайг олбол болно. Хэрэв векторууд нэг хавтгай дээр оршихгүй бол эдгээрээр ирмэгүүдээ хийсэн параллелопипедийн эзэлхүүн V=(суурийн талбай) (өндөр) Жишээ – 4 A(2;2;2) , B(1;3;5) , C(0;3;-1) цэгүүд дээр орой нь байх гурвалжны талбайг ол. Бодолт: Гурвалжны талуудыг , векторууд гэж үзвэл Давхар вектор үржвэр - ийг гурван векторын давхар вектор үржвэр гэнэ. Мөн гэж тодорхойлж болно. Давхар вектор үржвэр (1) (2) томъёогоор бодогдоно. (1), (2) томъёоноос харахад давхар вектор үржвэрт үржвэрийн эрэмбэ чухал. (1) томъёонд давхар вектор үржвэр вектортой компланар, (2) томъёонд давхар вектор үржвэр вектортой компланар байна.